(383) 375-08-85

23
Июль
2013

Решение С1 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Сибирь

Тригонометрическое уравнение: синус двойного угла и формула приведения. Отбор корней.

С1 — самое легкое задание части С из ЕГЭ по математике. Но тем не менее, по статистике хорошо ее решает только каждый десятый. Эта статья — первая из блока решений задач С1 реального ЕГЭ 2013 года.

а) Решите уравнение `\sin 2x = \sin \left( \frac {\pi}{2} +x \right)`;

б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `\left[ -\frac{7\pi}2 ; -\frac{5\pi}2\right]`.

Решение этой задачи сводится к знанию пары формул и минимальным навыкам работы с тригонометрическим кругом.

Распишем левую часть по формуле двойного угла: `\sin 2x = 2 \sin x \cos чё

Правую часть преобразуем по формуле приведения. Как делается, можно посмотреть в этой статье или на youtube. Для нашего случая решение написано ниже.

На тригонометрическом круге случайным образом выберем точку `x`. Соответствующая ему дуга выделена красным. Затем от точки `\frac{\pi}{2}` отмерим дугу такой же длины, как дуга `x` (она выделена синим). Очевидно, что ее конец окажется в точке `\frac{\pi}{2}+x`.

Нам нужен синус `\frac{\pi}{2}+x`. Отрезок, равный этому синусу выделен голубым цветом. Если внимательно посмотреть на рисунок, видно, что косинус `x` (он выделен оранжевым цветом) имеет такую же длину, как и нужный нам синус. Значит, `\sin\left(\frac\pi 2 +x \right) = \cos x`.

После описанных преобразований уравнение примет вид:

`2\sin x \cos x = \cos x.`

Решим его.

`2\sin x \cos x - \cos x = 0,`

`\cos x(2\sin x - 1)= 0,`

`\cos x = 0 \quad ` или `\quad 2\sin x -1 =0`.

`\cos x = 0 \quad ` или `\quad \sin x  =\frac {1}{2}`.

Найдем решения на круге.

 

Синим показано решение уравнения для синуса, красным — для косинуса.

Таким образом получаем:

`\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi}{2}+\pi k,\\x=\frac{\pi}{6}+2\pi k, \\ x= \frac{5\pi}{6} +2\pi k.\end{array}\right. , \quad  k\in \mathbb{Z}`

Решение под буквой а) завершили, теперь выполним отбор корней.

Для начала давайте выделим на окружности дугу, которая соответствует искомому интервалу `\left[- \frac{7\pi}{2};- \frac{5\pi}{2}\right]` и на этой же окружности отметим решения уравнения:

Так как точки `-\frac{7\pi}{2}` и `-\frac{5\pi}{2}` являются решениями уравнения `\cos x = 0`, и они принадлежат искомому интервалу , то они автоматически пойдут в ответ.

Из рисунка понятно, что корни из серии `\frac{\pi}{6}+2\pi k` не попадают в выделенную дугу, значит, в ответ они не пойдут.

Осталось только проверить корни вида `\frac{5\pi}{6}+2\pi k`. Видно, что одна из точек, в зависимости от того, какое `k` мы возьмем, попадет в требуемую дугу. Нужно выяснить, при каком `k`.

Если вы хорошо решаете простые неравенства, то предлагаю найти данное `k`, решив такое неравенство:

`-\frac{7\pi}{2}\leqslant \frac{5\pi}{6}+2\pi k\leqslant- \frac{5\pi}{2}`.

Мы "зажали" корень уравнения между концами искомого отрезка.

По сути данное двойное неравенство подчиняется тем же правилам, что и обычные: мы можем одновременно прибавлять одинаковые слагаемые ко всем частям неравенства, либо умножать все части неравенства на один и тот же положительный множитель. Пользуясь этими правилами, получим:

`-\frac{7\pi}{2}\leqslant \frac{5\pi}{6}+2\pi k\leqslant -\frac{5\pi}{2}`,

`-\frac{7\pi}{2}-\frac{5\pi}{6}\leqslant 2\pi k\leqslant -\frac{5\pi}{2}-\frac{5\pi}{6}`,

`-\frac{26\pi}{6}\leqslant 2\pi k\leqslant -\frac{20\pi}{6}`,

`-\frac{13}{6}\leqslant k\leqslant -\frac{10}{6}`.

Получили неравенство для `k`. Так как `k` может быть только целым, то `k=-2` (это единственное целое число из промежутка `\left[-\frac{13}{6}; -\frac{10}{6}\right]`).

Подставим `-2` в выражение `\frac{5\pi}{6}+2\pi k` и найдем окончательный ответ:

`\frac{5\pi}{6}+2\pi \cdot -2 = -\frac{19\pi}{6}.`

Однако хотя данный способ нахождения решения работает железно, удобнее воспользоваться другим способом. Если вы хорошо ориентируетесь в тригонометрическом круге, то этот способ как раз для вас.

Заметим, что расстояние от точки `-\frac{7\pi}{2}` до корня уравнения равно `\frac{\pi}{3}`. Получается, что наш ответ это `-\frac{7\pi}{2}+\frac{\pi}{3}= -\frac{19\pi}{6}`. Получили тот же ответ и затратили на это значительно меньше времени.

Итак, ответ: а) `\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \frac{\pi}{6}+2\pi k,\ \frac{5\pi}{6} +2\pi k,\ k\in \mathbb{Z}`; б)`-\frac{7\pi}{2},\ -\frac{5\pi}{2},\ -\frac{19\pi}{6}`.

Надеюсь, данный урок поможет вас сдать ЕГЭ на высокий балл! Оставляйте ваши комментарии и лайки.

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 4481

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить