Решение С1 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Урал

Здравствуйте, уважаемые ученики.

ЕГЭ продолжает нас радовать простыми задачами по тригонометрии. Видео решение этого С1 заняло меньше 4-х минут :) В уральском регионе оно было на реальном экзамене в 2013 году.

а) Решите уравнение `\left(27^ {\cos x}\right)^{\sin x} = 3^{\frac {3\cos x}{2}}`;

б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `\left[-\pi,\frac{\pi}{2}\right]`.

Первое, что нужно для решения, — привести показательное уравнение к тригонометрическому. Потом решить полученное уравнение и выполнить отбор корней.

Приступим. Представим `27` как `3^3` и воспользуемся свойством степеней, что `(a^b)^c=a^{b c}.` Тогда уравнение примет вид:

`3^{3\cos x \sin x}=3^{\frac{3\cos x}{2}}.`

Основания степеней одинаковые, значит, можно от них избавиться (эта операция называется логарифмированием). Получим:

`3\cos x \sin x=\frac{3\cos x}{2}.`

Дальше решаем полученное тригонометрическое уравнение:

`3\cos x \sin x-\frac{3\cos x}{2}=0,`

`3\cos x\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)=0,`

`\cos x = 0\quad ` или `\quad \sin x-\frac{1}{2}=0,`

`\cos x = 0\quad ` или `\quad \sin x=\frac{1}{2}.`

Покажем решение на тригонометрической окружности:

Синим цветом отмечено решение уравнения с синусом, красным — с косинусом.

Теперь можно записать ответ для части а):

`\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi}{2}+\pi k,\\x=\frac{\pi}{6}+2\pi k, \\ x= \frac{5\pi}{6} +2\pi k.\end{array}\right. , \quad  k\in \mathbb{Z}`.

Перейдем к отбору корней под буквой б).

Отметим на окружности решения уравнения и дугу, которая соответствует интервалу `\left[- \pi; \frac{\pi}{2}\right]`:

Отсюда сразу (даже без отбора корней!) видно, что точки `-\frac{\pi}2, \frac{\pi}6, \frac{\pi}2` попадают на требуемую дугу.

Таким образом, ответ для б) будет такой: `-\frac{\pi}2, \frac{\pi}6, \frac{\pi}2`.

На этом все :) Простое задание — короткое решение. Ставьте лайки и пишите, как вам понравилось решение в комментариях.