Решение С1 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Восток

Эта задача отдаленно напоминает вариант для сибирского региона — там тоже была формула привидения. Но на этом сходства заканчиваются: других интересных моментов в этом уравнении не замечено.

а) Решите уравнение `2\sin^2 x = \cos \left(\frac{3\pi}{2} - x  \right)`,

б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi \right]`.

Начнем решение с того, что преобразуем правую часть по формуле привидения.

Более подробно о том, как действовать с формулами приведения, можно посмотреть в этой статье или на youtube.

На тригонометрической окружности выберем некоторую точку `t`. Соответствующая ей дуга показана красным цветом. Затем от точки `\frac{3\pi}{2}` в отрицательном направлении (по часовой стрелке) отмерим дугу такой же длины, как и `t` (она выделена синим). Понятно, что ее конец окажется в точке `\frac{3\pi}{2}-t`.

Мы хотим преобразовать `\cos \left(\frac{3\pi}{2}-t\right)`. Отрезок, равный этому косинусу выделен голубым цветом. Если внимательно посмотреть на рисунок, видно, что отрезок, равный синусу `t` (он выделен оранжевым цветом) имеет такую же длину, как и косинус, который мы ищем. Однако здесь надо обратить внимание, что косинус здесь отрицателен. Значит, придется "приписать" к синусу минус. Получаем, что  `\cos \left( \frac{3\pi}{2}-t\right) = - \sin t`.

Формула приведения для нашего случая получена. (При должной тренировке описанные выше размышления занимают около пяти секунд.)

Уравнение примет вид:

$$ 2\sin^2 x =- \sin  x. $$

Решим его. Для этого перенесем синус в левую часть и потом вынесем его за скобки.

$$ 2\sin^2 x + \sin  x=0, $$

$$\sin  x (2\sin x + 1)=0, $$

$$\sin  x (2\sin x + 1)=0, $$

$$\sin  x =0 \quad \text{или} \quad 2\sin x + 1=0, $$

$$\sin  x =0 \quad  \quad \sin x =- \frac{1}{2}. $$

Так мы максимально упростили уравнение. Теперь отметим решение на тригонометрическом круге:

Отсюда получаем ответ для пункта а): `\pi k, -\frac{\pi}6+2\pi k, -\frac{5\pi}6+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}`.

Теперь отбор корней.

Покажем дугу, которая соответствует искомому интервалу `\left[- \frac{5\pi}{2};- \pi\right]` и отметим решения уравнения. Точки — концы дуги подписаны внутри окружности.

Очевидно, что ни одна точка из серии `-\frac{5\pi}{6}+2\pi k` не попадет в требуемый интервал.

Так же понятно, что из серии `\pi k` в данный отрезок попадут точки `-\pi`  и  `-2\pi`.

Осталось понять, какая именно точка из серии `-\frac{\pi}{6}+2\pi k` окажется внутри нашего отрезка.

Можно сделать это, решив двойное неравенство, как в вариантах сибирского и центрального регионов. Но этот способ, как показывает практика, хоть и работает безотказно, но слишком долгий. Ведь если сдаешь ЕГЭ на высокий балл, каждая минута на счету.

Мы сделаем так: заметим, что нужная точки из серии `-\frac{\pi}{6}+2\pi k` получается смещением от точки `\frac{-5\pi}{2}` на дугу длиной `\frac{\pi}{3}` в положительном направлении.
Теперь посчитаем `\frac{-5\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = -\frac{13\pi}{6}` — эта точка и будет решением

Собираем итоговый ответ: а) `\pi k, -\frac{\pi}6+2\pi k, -\frac{5\pi}6+2\pi k \quad k\in \mathbb{Z}`, б) `-\pi, -2\pi, -\frac{13\pi}{6}`.

 

Спасибо всем, кто дочитал это решение до конца. Я уверен, что те, кто качественно готовится к ЕГЭ, не только сдадут экзамен на высокую оценку, но и поднимут уровень математической грамотности :)

За сим откланяюсь. Ставим лайки и комментируем статью.