Решение С2 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Сибирь

Здравствуйте! Сейчас мы решим задачу С2 из реального ЕГЭ 2013 года (сибирь).

Условие задачи следующее:

В правильной четырехугольной призме `ABCDA_1B_1C_1D_1` сторона основания равна `20`, а боковое ребро `AA_1 = 7`. Точка `M` принадлежит ребру `A_1D_1` и делит его в отношении `2:3`, считая от вершины `D_1`. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки `B, D` и `M`.

Как и в любой геометрической задаче, правильное решение С2 зависит от правильного рисунка. Итак, перед нами призма.

Построим нужное сечение

Сперва отметим точку `M`. Поскольку нам известно, в каком отношении она делит `A_1D_1`, то очевидно, что `A_1M = 12, MD_1 = 8`.

Затем проведем отрезок `BD`. Так как плоскости `ABCD` и `A_1B_1C_1D_1` параллельны, то секущая плоскость пересечет их по параллельным прямым. Одна из них — `BD`. Другая пройдет через точку `M`.

Отметим на отрезке `A_1B_1` току `N`, такую что `MN \parallel BD`.

Соединим точки `M` и `N` с точками `D` и `B` соответственно.

Полученный четырехугольник — искомое сечение.

Так как `MN \parallel BD`, то `MNBD` — трапеция.

Площадь трапеции будем искать как половину произведения оснований на высоту. Значит, нам нужны длины оснований.

Длины оснований трапеции

`BD = 20\sqrt{2}` находим как длину диагонали нижнего основания призмы.

Длину `MN` легко получим из квадрата `A_1B_1C_1D_1`.

Так как `MN \parallel BD`, то `MN` составляет с `A_1D_1` и `A_1B_1`  такие же углы, как `BD`. Так как `BD` — диагональ квадрата, то они составляет со ребрами основания призмы углы в `45^\circ`. Ребра нижнего основания параллельны ребрам верхнего, значит, `MN` образует с ними такие же углы, как и `BD`.

Таким образом мы получили, что `MNA_1` — равнобедренный прямоугольный треугольник. Зная длины его катетов, получаем, что `MN = 12\sqrt{2}`.

Поиск высоты трапеции

Теперь нужно найти высоту. Это будет легко сделать, зная боковые ребра.

Рассмотрим грань `AA_1D_1D` и `\triangle NB_1B`.

По теореме Пифагора находим `NB = \sqrt{8^2+7^2}= \sqrt{113}`.

Заметим, что обе боковые стороны трапеции равны (можно рассмотреть грань `AA_1D_1D` и убедиться в этом).

Теперь можно найти площадь искомого сечения.

Площадь сечения

Опустим высоты `NH` и `MH'`. `MNHH'` — прямоугольник, значит, `MN = HH'` и `MH' = NH`. Так как при этом равнобедренная, то `\triangle DMH' = \triangle BNH`. Отсюда получаем, что `HB = DH' = 4\sqrt{2}`.

Из `\triangle BNH` по теореме Пифагора находим высоту `NH = \sqrt {113 - 32} = \sqrt {81} = 9.`

Таким образом, площадь трапеции равна `\dfrac{MN + BD}{2} \cdot NH = \dfrac{12\sqrt{2} + 20 \sqrt{2} }{2} \cdot 9 = 16\sqrt{2} \cdot 9 = 144 \sqrt{2}`.

На этом решение задачи окончено

Ответ

`144 \sqrt{2}`.

 

Задавайте вопросы, ставьте лайки, смотрите видео! Одним словом, давайте вместе готовиться к ЕГЭ.