(383) 375-08-85

  • Решение ЕГЭ
  • Решение С2 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Сибирь
29
Июль
2013

Решение С2 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Сибирь

Поиск площади сечения правильной четырехугольной призмы

Здравствуйте! Сейчас мы решим задачу С2 из реального ЕГЭ 2013 года (сибирь).

Условие задачи следующее:

В правильной четырехугольной призме `ABCDA_1B_1C_1D_1` сторона основания равна `20`, а боковое ребро `AA_1 = 7`. Точка `M` принадлежит ребру `A_1D_1` и делит его в отношении `2:3`, считая от вершины `D_1`. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки `B, D` и `M`.

Как и в любой геометрической задаче, правильное решение С2 зависит от правильного рисунка. Итак, перед нами призма.

Призма, задача С2

Построим нужное сечение

Сперва отметим точку `M`. Поскольку нам известно, в каком отношении она делит `A_1D_1`, то очевидно, что `A_1M = 12, MD_1 = 8`.

Затем проведем отрезок `BD`. Так как плоскости `ABCD` и `A_1B_1C_1D_1` параллельны, то секущая плоскость пересечет их по параллельным прямым. Одна из них — `BD`. Другая пройдет через точку `M`.

Отметим на отрезке `A_1B_1` току `N`, такую что `MN \parallel BD`.

Соединим точки `M` и `N` с точками `D` и `B` соответственно.

Полученный четырехугольник — искомое сечение.

Сечение правильной призмы — Трапеция. С2 реальный ЕГЭ

Так как `MN \parallel BD`, то `MNBD` — трапеция.

Площадь трапеции будем искать как половину произведения оснований на высоту. Значит, нам нужны длины оснований.

Длины оснований трапеции

`BD = 20\sqrt{2}` находим как длину диагонали нижнего основания призмы.

Длину `MN` легко получим из квадрата `A_1B_1C_1D_1`.

real 2013 C2sibir3

Так как `MN \parallel BD`, то `MN` составляет с `A_1D_1` и `A_1B_1`  такие же углы, как `BD`. Так как `BD` — диагональ квадрата, то они составляет со ребрами основания призмы углы в `45^\circ`. Ребра нижнего основания параллельны ребрам верхнего, значит, `MN` образует с ними такие же углы, как и `BD`.

Таким образом мы получили, что `MNA_1` — равнобедренный прямоугольный треугольник. Зная длины его катетов, получаем, что `MN = 12\sqrt{2}`.

Поиск высоты трапеции

Теперь нужно найти высоту. Это будет легко сделать, зная боковые ребра.

Рассмотрим грань `AA_1D_1D` и `\triangle NB_1B`.

real 2013 C2sibir4

По теореме Пифагора находим `NB = \sqrt{8^2+7^2}= \sqrt{113}`.

Заметим, что обе боковые стороны трапеции равны (можно рассмотреть грань `AA_1D_1D` и убедиться в этом).

Теперь можно найти площадь искомого сечения.

Площадь сечения

Искомое сечение. Задача С2, реальный ЕГЭ 2013

Опустим высоты `NH` и `MH'`. `MNHH'` — прямоугольник, значит, `MN = HH'` и `MH' = NH`. Так как при этом равнобедренная, то `\triangle DMH' = \triangle BNH`. Отсюда получаем, что `HB = DH' = 4\sqrt{2}`.

Из `\triangle BNH` по теореме Пифагора находим высоту `NH = \sqrt {113 - 32} = \sqrt {81} = 9.`

Таким образом, площадь трапеции равна `\dfrac{MN + BD}{2} \cdot NH = \dfrac{12\sqrt{2} + 20 \sqrt{2} }{2} \cdot 9 = 16\sqrt{2} \cdot 9 = 144 \sqrt{2}`.

На этом решение задачи окончено

Ответ

`144 \sqrt{2}`.

 

Задавайте вопросы, ставьте лайки, смотрите видео! Одним словом, давайте вместе готовиться к ЕГЭ.

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 3436

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить