(383) 375-08-85

29
Июль
2013

Решение С2 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Центр

Поиск площади сечения правильной четырехугольной пирамиды

Привет всем!

Эту задачу решали выпускники 2013 года на реальном ЕГЭ. Она, как водится, похожа на задачу для Урала. Звучит она так:

В правильной четырехугольной пирамиде `MABCD` с вершиной `M` стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку `C` и середину ребра `MA` параллельно прямой `BD`.

Чтобы вникнуть в задачу, построим пирамиду. А затем поймем, как пройдет сечение.

Наша пирамида выглядит так:

Правильная четырехугольная пирамида С2

Чтобы построить сечение, обозначим середину ребра `MA` как `N`. Дальнейшие шаги:

  • Соединим точки `N` и `C`. Отрезок `NC` пересечет высоту пирамиды `MH` в точке `E`.
  • В плоскости `MBD` через точку `E` проведем прямую, параллельную `BD`. Она пересечет ребра `MB` и  `MD` в точках `P` и `Q` соответственно.
  • Четырехугольника `NPCQ` — искомое сечение.

сечение правильной пирамиды, задача С2

Заметим, что диагонали искомого четырехугольника перпендикулярны (доказать самостоятельно). Вынесем его на отдельный рисунок.

Четырехугольник — искомое сечение, С2 реальный ЕГЭ 2013

Поскольку диагонали перпендикулярны, то площадь `NPCQ` равна половине произведения диагоналей. Следующий шаг — найти их длины. Начнем с длины `NC`.

Рассмотрим `\triangle AMC`.

Треугольник AMC  — сечение пирамиды, С2 реальный ЕГЭ

Нам известны боковые стороны и длина отрезка `NM` (она равна половине `MA` по условию). Чтобы найти `NC`, достаточно знать `\angle M`, тогда мы легко найдем нужный отрезок по теореме косинусов. Однако `\angle M` тоже можно легко найти по теореме косинусов.

$$\cos \angle M = \frac {AC^2 - AM^2 - CM^2}{-2\cdot AM \cdot CM} = \frac{36\cdot 2 - 144 -144}{-2\cdot  144} = \frac{216}{288}=\frac{3}{4}.$$

Теперь из `\triangle MNC` найдем длину `NC`.

$$NC^2 = MN^2 + MC^2 -2\cdot MN \cdot MC \cdot \cos \angle M = 36 + 144 - 2 \cdot 72 \cdot \frac{3}{4} = 180 - 108 = 72,$$

$$NC = 6\sqrt{2}.$$

Длина `NC` теперь известна. Для дальнейшего решения осталось заметить, что `NC` и `MH` — медианы в равнобедренном треугольнике, значит они делятся в отношении `2:1`, считая от вершины, т. е. `ME : EH = 2 : 1`.

Из `\triangle BDM` найдем `PQ`.

real 2013 C2centr4

Длину `BD` мы найдем как диагональ квадрата, лежащего в основании. `HD` равно половине `BD`. Поскольку `PQ \parallel BD`, то `\triangle MEQ \sim \triangle MHD` с коэффициентом подобия `2 : 3` (коэффициент подобия можно получить, если вспомнить про соотношение длин отрезков `ME` и `EH`, оно отмечено на рисунке).

Отсюда получаем, что `EQ = 2\sqrt{2}`, a `PQ = 4 \sqrt{2}`.

Таким образом, теперь нам известны обе диагонали четырехугольника – сечения.

Вычислим его площадь.

$$S_{NPCQ} = PQ \cdot NC \cdot \frac{1}{2}= 4\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 24.$$

Ответ

24

 

Спасибо всем, кто внимательно прочитал это решение и разобрался в нем. Оставляйте комментарии и лайки, они очень помогут мне и этому сайту.

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 9799

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить