Решение С2 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Центр

Привет всем!

Эту задачу решали выпускники 2013 года на реальном ЕГЭ. Она, как водится, похожа на задачу для Урала. Звучит она так:

В правильной четырехугольной пирамиде `MABCD` с вершиной `M` стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку `C` и середину ребра `MA` параллельно прямой `BD`.

Чтобы вникнуть в задачу, построим пирамиду. А затем поймем, как пройдет сечение.

Наша пирамида выглядит так:

Чтобы построить сечение, обозначим середину ребра `MA` как `N`. Дальнейшие шаги:

• Соединим точки `N` и `C`. Отрезок `NC` пересечет высоту пирамиды `MH` в точке `E`.
• В плоскости `MBD` через точку `E` проведем прямую, параллельную `BD`. Она пересечет ребра `MB` и  `MD` в точках `P` и `Q` соответственно.
• Четырехугольника `NPCQ` — искомое сечение.

Заметим, что диагонали искомого четырехугольника перпендикулярны (доказать самостоятельно). Вынесем его на отдельный рисунок.

Поскольку диагонали перпендикулярны, то площадь `NPCQ` равна половине произведения диагоналей. Следующий шаг — найти их длины. Начнем с длины `NC`.

Рассмотрим `\triangle AMC`.

Нам известны боковые стороны и длина отрезка `NM` (она равна половине `MA` по условию). Чтобы найти `NC`, достаточно знать `\angle M`, тогда мы легко найдем нужный отрезок по теореме косинусов. Однако `\angle M` тоже можно легко найти по теореме косинусов.

$$\cos \angle M = \frac {AC^2 - AM^2 - CM^2}{-2\cdot AM \cdot CM} = \frac{36\cdot 2 - 144 -144}{-2\cdot  144} = \frac{216}{288}=\frac{3}{4}.$$

Теперь из `\triangle MNC` найдем длину `NC`.

$$NC^2 = MN^2 + MC^2 -2\cdot MN \cdot MC \cdot \cos \angle M = 36 + 144 - 2 \cdot 72 \cdot \frac{3}{4} = 180 - 108 = 72,$$

$$NC = 6\sqrt{2}.$$

Длина `NC` теперь известна. Для дальнейшего решения осталось заметить, что `NC` и `MH` — медианы в равнобедренном треугольнике, значит они делятся в отношении `2:1`, считая от вершины, т. е. `ME : EH = 2 : 1`.

Из `\triangle BDM` найдем `PQ`.

Длину `BD` мы найдем как диагональ квадрата, лежащего в основании. `HD` равно половине `BD`. Поскольку `PQ \parallel BD`, то `\triangle MEQ \sim \triangle MHD` с коэффициентом подобия `2 : 3` (коэффициент подобия можно получить, если вспомнить про соотношение длин отрезков `ME` и `EH`, оно отмечено на рисунке).

Отсюда получаем, что `EQ = 2\sqrt{2}`, a `PQ = 4 \sqrt{2}`.

Таким образом, теперь нам известны обе диагонали четырехугольника – сечения.

Вычислим его площадь.

$$S_{NPCQ} = PQ \cdot NC \cdot \frac{1}{2}= 4\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 24.$$

Ответ

24

 

Спасибо всем, кто внимательно прочитал это решение и разобрался в нем. Оставляйте комментарии и лайки, они очень помогут мне и этому сайту.