Решение С3 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Сибирь

Подходит к концу серия С3 из реального ЕГЭ 2013. Неравенство из этой статьи было на экзамене в Сибирском регионе. Выглядит оно так:

`\left\{ \begin{array}{l}\log_{4-x} \dfrac{(x-4)^8}{x+5}\geqslant 8, \\ \dfrac{x^2-3x-5}{x-4}+\dfrac{x^2-6x+3}{x-6} \leqslant 2x+1. \end{array}\right.`

Как уже понятно многим читателям, это задание шаблонное и при хорошей подготовке решить его можно за 15 минут.

Первое неравенство

ОДЗ

`\left\{\begin{array}{l}4-x >0, \\ 4-x \neq 1,\\ \dfrac{(x-4)^8}{x+5}>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x<4, \\ x \neq 3,\\ x>-5\end{array}\right.`

Само неравенство

Перенесем восьмерку из правой части в левую и представим как логарифм с основанием `4-x`:

`\log_{4-x} \dfrac{(x-4)^8}{x+5} - \log_{4-x} (4-x)^8\geqslant 0.`

Разность логарифмов представим как логарифм частного и потом сократим:

`\log_{4-x} \dfrac{(x-4)^8}{(x+5)\cdot(4-x)^8} \geqslant 0,`

`\log_{4-x} \dfrac{1}{x+5} \geqslant 0.`

В ЕГЭ этого года все задания хорошо решались с использованием рационализации логарифмических неравенств. То есть теперь мы должны перемножить основание логарифма минус единица на аргумент логарифма минус единица и так же сравнить с нулем:

`(4-x-1) (\dfrac{1}{x+5}-1) \geqslant 0.`

`(3-x) (\dfrac{1-x-5}{x+5}) \geqslant 0.`

`(3-x) (\dfrac{-4-x}{x+5}) \geqslant 0.`

Нанесем нули функции на ось и решим методом интервалов. Получим такую картину:

Совместим с ОДЗ:

Желтым выделена область, где обе штриховки совпадают, — это ответ для первого неравенства.

Второе неравенство

`\dfrac{x^2-3x-5}{x-4}+\dfrac{x^2-6x+3}{x-6} \leqslant 2x+1.`

Пожалуй это самое интересное рациональное неравенство из всех реальных ЕГЭ 2013 года. В нем нам придется делить столбиком многочлен на многочлен в обеих дробях левой части. Как это делается, подробно показано в видео или на крайний случай в википедии. В итоге у нас получится вот что:

 `x+1+\dfrac{-1}{x-4}+x+\dfrac{3}{x-6}\leqslant 2x+1.`

Дальше дело техники. Заметим, что `2x+1` взаимоуничтожатся в левой и правой части. Так у нас останется только две дроби (прекрасно!), которые мы приведем к общему знаменателю и решим методом интервалов.

`\dfrac{-1}{x-4}+\dfrac{3}{x-6}\leqslant 0,`

`\dfrac{-x+6+3x-12}{(x-4)(x-6)}\leqslant 0,`

`\dfrac{2x-6}{(x-4)(x-6)}\leqslant 0.`

Метод интервалов даст нам такую картину:

Совмещение решений

Последний шаг — наложить все полученные решения.

Вот он, долгожданный ответ: `x \in (-5,-4].`