Решение С3 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Центр

Предпоследнее видео из серии С3 реального ЕГЭ. На этот раз система неравенств такая:

`\left\{\begin{array}{l}\log_{3-x} \dfrac{x+4}{(x-3)^2} \geqslant -2,\\ x^3 + 6x^2+ \dfrac {21x^2+3x -12}{x-4} \leqslant 3.\end{array}\right.`

Опять во втором неравенстве перед нами большая и ужасная дробь. Вам повезло, если вы готовитесь к ЕГЭ 2014 и уже решили варианты для Урала и Востока. Значит, с этим заданием вы так же легко справитесь. Если же вам нужно решение, то привожу его ниже. 

Первое неравенство

Выпишем ОДЗ логарифма:

`\left\{\begin{array}{l}3-x > 0,\\  3-x \neq 1,\\ \dfrac{x+4}{(x-3)^2} >0.\end{array}\right.`

`\left\{\begin{array}{l}x <3,\\  x \neq 2,\\ x >-4.\end{array}\right.`

Теперь решим само неравенство. Перенесем двойку влево и представим ее в виде логарифма с основанием `3-x`.

`\log_{3-x} \dfrac{x+4}{(x-3)^2} + \log_{3-x}(3-x)^2\geqslant 0. `

Теперь нам пригодится свойство логарифмов, что сумма равна логарифму произведения (`\log_a b + \log_a с = \log_a b\cdot c`).

`\log_{3-x} \dfrac{(x+4)(3-x)^2}{(x-3)^2} \geqslant 0. `

`\log_{3-x} (x+4) \geqslant 0. `

Последнее, что мы сделали  — сократили дробь на `(3-x)^2`. (Если кто сомневается, что так можно делать, предлагаю раскрыть квадрат разности и убедиться, что сокращение выполнено верно).

Переходим к рационализации неравенств. Без него в решении этого С3 никуда. В предыдущих решениях было подробно рассмотрено, как выполнять рационализацию в данном случае, поэтому останавливаться на этом моменте не будем. Сразу перейдем к неравенству

`(3-x-1) (x+4-1) \geqslant 0`,

`(2-x) (x+3) \geqslant 0`,

откуда с использованием метода интервалов получим `x\in[-3,2].`

Совместим с ОДЗ:

 

Желтым отмечено итоговое решение первого неравенства. Получили, что `x\in [-3,2)`.

Второе неравенство

`x^3 + 6x^2+ \dfrac {21x^2+3x -12}{x-4} \leqslant 3.`

В этом задании нам даже не придется делить многочлен на многочлен. Мы заметим, что в числителе `3x-12` — это `3\cdot (x-4)`. Значит, нашу дробь удобно разбить на две, чтобы затем сократить `3x-12` и `x-4`. После этих преобразований получится

`x^3 + 6x^2+ \dfrac {21x^2}{x-4} +3 \leqslant 3.`

Избавимся от троек и вынесем в левой части `x^2` за скобки:

`x^2\cdot \left( x+ 6+ \dfrac {21}{x-4} \right)  \leqslant 0.`

Приведем к общему знаменателю все слагаемые в скобках:

`x^2\cdot \dfrac {x^2 +6x -4x - 24 + 21}{x-4}  \leqslant 0,`

`x^2\cdot \dfrac {x^2 +2x- 3 }{x-4}  \leqslant 0.`

Разложим числитель по теореме Виета,

`x^2\cdot \dfrac {(x+3)(x- 1) }{x-4}  \leqslant 0.`

Ура! Наконец-то мы добрались до метода интервалов.

Решение второго неравенство получено. Остался последний штрих — объединить полученные решения.

Ответ: `x\in \{-3\} \cup \{0\} \cup [1,2).`