Решение С4 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Сибирь

Здравствуйте! Серия статей, посвященных решению С4 начнется с задачи, которая была на реальном ЕГЭ в Сибирском регионе. Звучит она так:

Окружности радиусов 11 и 21 с центрами `O_1` и `O_2` соответственно касаются внешним образом в точке `C`, `AO_1` и `BO_2` — параллельные радиусы этих окружностей, причем `\angle AO_1O_2 = 60^\circ`. Найдите `AB`.

Приступим к решению. В первую очередь нам надо выполнить чертеж. На этом этапе важно вспомнить, что задача С4 допускает двоякое трактование. Значит, у нас получится два разных рисунка.

В этой задаче рисунки будут отличаться тем, как будут ли параллельные радиусы расположены по одну сторону от линии центров `O_1O_2` или по разные. Иными словами, будет ли они "смотреть" в одну сторону или в противоположные.

Первым рассмотреть такой случай:

Заметим, что `O_1O_2=32`. Эту длину мы получили как сумму длин радиусов обеих окружностей.

Далее, так как по условию радиусы `O_1A` и `O_2B` параллельны, то `AO_1O_2B` — трапеция с основаниями `O_1A` и `O_2B`. Для того, чтобы найти `AB` будет полезно вынести ее на отдельный рисунок и провести отрезок `AD`, параллельный `O_1O_2`:

Так как стороны многоугольника `ADO_2O_1` попарно параллельны, то `ADO_2O_1` — параллелограмм. Значит, `AD=O_1O_2 = 32`, `O_2D=O_1A=11`. Отсюда получаем, `DB=O_2B-O_2D=21-11=10`. Углы `\angle AO_1O_2` и `\angle O_1O_2D` односторонние, значит, их сумма равна `180^\circ`. Отсюда находим `\angle O_1O_2D=120^\circ`. Углы `\angle O_1O_2D` и `\angle ADB` соответственные, значит они равны. Теперь `AB` можно найти из треугольника `ADB` по теореме косинусов.

$$AB^2 = 10^2 + 32^2 - 2\cdot \cos 120^\circ \cdot 10 \cdot 32,$$

$$AB^2 = 100 + 1024 - 2\cdot \left(- \frac {1}{2}\right)  \cdot 320,$$

$$AB^2 = 1444,$$

$$AB = 38.$$

Ответ для первого случая получен. Теперь разберем вариант, если параллельные радиусы лежат по разные стороны от линии центров:

Легко понять, что треугольник `O_1AC` равнобедненный с основанием `AC` (поскольку его стороны `O_1A` и `O_1C` — радиусы одной окружности — равны между собой). Поскольку угол при его вершине равень `60^\circ`, то получим, что углы при основании тоже равны `60^\circ`, значит треугольник равносторонний. Аналогично получаем, что треугольник `O_2BC` также является равносторонним. Последнее, что необходимо показать, что отрезки `AC` и `BC` действительно образуют прямую.

На всякий случай, поясню по-другому: интуитивно понятно, что отрезок `AB` пройдет через точку `C`, но строгого доказательства мы пока не давали.

Доказать можно так: `\angle ACO_2 = 180 - \angle ACO_1 = 120^\circ, \angle ACB = \angle ACO_2 + \angle O_2CB = 120^\circ+60^\circ = 180^\circ`. Значит, `\angle ACB` — развернутый, т. е. `ACB` — прямая.

Теперь спокойно считаем длину `AB` как длину составляющих его отрезков `AC` и `BC`. Получим `AB = 11+21 = 32`.

Таким образом, мы получили ответ: `38; 32`.

Успехов в сдаче ЕГЭ! Ставьте лайки, и получайте +5 к удаче на экзамене :)