Решение С4 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Урал

Здравствуйте!

На этот раз мы разберем последнюю задачу из цикла С4 реального ЕГЭ 2013. Звучит она так:

Окружности радиусов `2` и `9` с центрами `O_1` и `O_2` соответственно касаются в точке `L`. Прямая, проходящая через точку `L`, вторично пересекает меньшую окружность в точке `K`, а большую — в точке `M`. Найдите площадь треугольника `KMO_1`, если `\angle LMO_2 = 15^\circ`.

По сути, чтобы решить эту задачу С4, нужно уметь правильно строить высоты треугольника, и пользоваться определением синуса и косинуса угла. Также нужно не забыть про многовариантность задачи С4.

Вариант 1. Окружности касаются внешним образом

Схема поиска ответа будет такая же, как и в задаче для центрального региона. Опустим высоту из точки `M` на продолжение стороны `KO_1`, тогда площадь `\triangle KMO_1` найдем как половину произведения `MH\cdot KO_1`.

Докажем вспомогательное утверждение: `O_2M \parallel KO_1`.

• `\triangle KLO_1` и `\triangle LMO_2` равнобедренные, значит, углы при их основаниях равны.
• `\angle KLO_1 = \angle MLO_2`, т. к. эти углы вертикальные.
• Получим, что `\angle LKO_1 = \angle KLO_1 = \angle MLO_2 =\angle LMO_2`.
• `\angle LKO_1` и `\angle LMO_2` вертикальные при прямых `KO_1`, `MO_2` и секущей `KM`, и так как они равны, то прямые параллельны.

Теперь для удобства опустим перпендикуляр `O_2H'` на прямую `KO_1`.

Очевидно, что `O_2H' = MH` (на всякий случай поясню: `MHH'O_2` — параллелограмм).

Угол `O_2O_1H'` легко находится как внешний к углу `LO_1K`. Длину `O_1O_2` мы находим как сумму двух радиусов. Таким образом `O_2H' = 5{,}5` — половина гипотенузы, т. к. это катет, который лежит против угла `30^\circ`.

Теперь вычислим искомую площадь

$$S_{\triangle KMO_1}= MH \cdot KO_1 \cdot \frac {1}{2}= O_2H'\cdot KO_1 \cdot \frac {1}{2} = 2 \cdot 5{,}5 \cdot \frac{1}{2} = 5{,}5.$$

Случай 2. Окружности касаются внутренним образом

В этом случае так же полезно будет показать, что `KO_1 \parallel MO_2`. Это можно сделать, заметив, что `\triangle LKO_1` и `\triangle LMO_2` равнобедренные и при этом `\angle KLO_1` общий. Получается, что `\angle LKO_1 = \angle LMO_2`, и они являются соответственными.

Теперь развернем рисунок, чтобы удобно было воспринимать нужные нам построения.

Высота `\triangle MKO_1`, опущенная из точки `M` на продолжение `O_1K` — это, по сути, расстояние между параллельными прямыми `O_1K` и `O_2M`. Проведем перпендикуляр `O_1H` к прямой `MO_2`. Это также будет расстоянием между прямыми `O_1K` и `O_2M`. Значит, будем использовать `O_1H` вместо высоты треугольника. Вычислим длину этого отрезка.

Угол `O_1O_2H` находится как внешний к `\triangle `LMO_2`. `O_1O_2 = 7`— разность радиусов. Против угла в `30^\circ` лежит катет равный половине гипотенузы, значит, `O_1H = 3{,}5`.

Теперь вычислим площадь.

$$S_{\triangle KMO_1}= O_1H \cdot KO_1 \cdot \frac {1}{2}= 2 \cdot 3{,}5 \cdot \frac{1}{2} = 3{,}5.$$

Это и есть ответ для второго случая

Ответ

`3{,}5; 5{,}5.`

Обязательно детально разберите это решение. Ведь кто знает, какая задача попадется в этом году?

Кто хочет хорошо сдать ЕГЭ, ставьте лайки :)