(383) 375-08-85

  • Решение ЕГЭ
  • Решение С4 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Урал
27
Июль
2013

Решение С4 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Урал

Две касающиеся окружности, нахождение площади треугольника.

Здравствуйте!

На этот раз мы разберем последнюю задачу из цикла С4 реального ЕГЭ 2013. Звучит она так:

Окружности радиусов `2` и `9` с центрами `O_1` и `O_2` соответственно касаются в точке `L`. Прямая, проходящая через точку `L`, вторично пересекает меньшую окружность в точке `K`, а большую — в точке `M`. Найдите площадь треугольника `KMO_1`, если `\angle LMO_2 = 15^\circ`.

По сути, чтобы решить эту задачу С4, нужно уметь правильно строить высоты треугольника, и пользоваться определением синуса и косинуса угла. Также нужно не забыть про многовариантность задачи С4.

Вариант 1. Окружности касаются внешним образом

Окружности касаются внешним образом. Условие перенесено на рисунок

Схема поиска ответа будет такая же, как и в задаче для центрального региона. Опустим высоту из точки `M` на продолжение стороны `KO_1`, тогда площадь `\triangle KMO_1` найдем как половину произведения `MH\cdot KO_1`.

Опустили высоту на KH

Докажем вспомогательное утверждение: `O_2M \parallel KO_1`.

  • `\triangle KLO_1` и `\triangle LMO_2` равнобедренные, значит, углы при их основаниях равны.
  • `\angle KLO_1 = \angle MLO_2`, т. к. эти углы вертикальные.
  • Получим, что `\angle LKO_1 = \angle KLO_1 = \angle MLO_2 =\angle LMO_2`.
  • `\angle LKO_1` и `\angle LMO_2` вертикальные при прямых `KO_1`, `MO_2` и секущей `KM`, и так как они равны, то прямые параллельны.

Теперь для удобства опустим перпендикуляр `O_2H'` на прямую `KO_1`.

Второй перпендикуляр опущен. Считаем его за высоту

Очевидно, что `O_2H' = MH` (на всякий случай поясню: `MHH'O_2` — параллелограмм).

Угол `O_2O_1H'` легко находится как внешний к углу `LO_1K`. Длину `O_1O_2` мы находим как сумму двух радиусов. Таким образом `O_2H' = 5{,}5` — половина гипотенузы, т. к. это катет, который лежит против угла `30^\circ`.

Теперь вычислим искомую площадь

$$S_{\triangle KMO_1}= MH \cdot KO_1 \cdot \frac {1}{2}= O_2H'\cdot KO_1 \cdot \frac {1}{2} = 2 \cdot 5{,}5 \cdot \frac{1}{2} = 5{,}5.$$

Случай 2. Окружности касаются внутренним образом

Окружности касаются внутренним образом. Условие перенесено на рисунок

В этом случае так же полезно будет показать, что `KO_1 \parallel MO_2`. Это можно сделать, заметив, что `\triangle LKO_1` и `\triangle LMO_2` равнобедренные и при этом `\angle KLO_1` общий. Получается, что `\angle LKO_1 = \angle LMO_2`, и они являются соответственными.

Теперь развернем рисунок, чтобы удобно было воспринимать нужные нам построения.

Развернули картину, поставили O2M в основание

Высота `\triangle MKO_1`, опущенная из точки `M` на продолжение `O_1K` — это, по сути, расстояние между параллельными прямыми `O_1K` и `O_2M`. Проведем перпендикуляр `O_1H` к прямой `MO_2`. Это также будет расстоянием между прямыми `O_1K` и `O_2M`. Значит, будем использовать `O_1H` вместо высоты треугольника. Вычислим длину этого отрезка.

Угол `O_1O_2H` находится как внешний к `\triangle `LMO_2`. `O_1O_2 = 7`— разность радиусов. Против угла в `30^\circ` лежит катет равный половине гипотенузы, значит, `O_1H = 3{,}5`.

Теперь вычислим площадь.

$$S_{\triangle KMO_1}= O_1H \cdot KO_1 \cdot \frac {1}{2}= 2 \cdot 3{,}5 \cdot \frac{1}{2} = 3{,}5.$$

Это и есть ответ для второго случая

Ответ

`3{,}5; 5{,}5.`

Обязательно детально разберите это решение. Ведь кто знает, какая задача попадется в этом году?

Кто хочет хорошо сдать ЕГЭ, ставьте лайки :)

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 2418

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить