(383) 375-08-85

10
Июль
2013

Решение С5 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Сибирь

Задача с параметром. Симметричные корни, инвариантность, модули.

Здравствуйте!

В этой статье будет показано как решать задачу C5 из сибирских вариантов ЕГЭ 2013.

Найдите все значения параметра `a` при каждом из которых уравнение

`x^2+(a-3)^2=|x+3-a|+|x+a-3|`

имеет единственный корень.

 Решать будем, заметив, что при замене в это уравнении `x`  на `-x` ничего не изменится.

Итак, попробуем подставить в это уравнение `-x` вместо `x`. Получим:

`(-x)^2+(a-3)^2= |-x+3-a|+|-x+a-3|.`

`-x` в квадрате даст все тот же `x`. Но что будет с модулями? На первый взгляд они сильно отличаются от первоначальных. Тут надо воспользоваться свойством, что `|-x|= |x|` (легко проверяется, если раскрыть знак модуля слева и справа на положительном и отрицательном направлении оси `x`).

Тогда получим, что внутри модулей в правой части уравнения все знаки можно поменять:

`(-x)^2+(a-3)^2=|x-3+a|+|x-a+3|.`

Выходит, что правая часть осталась точно такое же, как и была изначально -- модули просто поменялись местами.

Значит, мы можем сделать важный вывод: если некоторый `x` удовлетворяет нашему уравнению, то и `-x` будет также, удовлетворять.

По условию задачи нас просят найти единственный `x`. Значит, чтобы наши решения не дублировались, необходимо (но не достаточно, об этом позже), чтобы `x` равнялся нулю. 

Таким образом, мы знаем, что `x=0` должно быть решением уравнения. Подставим его и найдем `a`:

`(a-3)^2 = |3-a| + |a-3|.`

По уже использованному свойству модуля `|x| = |-x|` поменяем знаки внутри первого модуля в левой части. Левую часть тоже преобразуем: `(a-3)^2=|a-3|^2` -- можно легко проверить, раскрыв модуль по правилам. Получим:

`|a-3|^2 = 2|a-3|`
`|a-3|^2 - 2|a-3|=0`
`|a-3|\cdot (|a-3|-2)=0`

`\left[\begin{gather} |a-3| = 0; \\ |a-3|-2 = 0. \end{gather}\right.` `\Rightarrow` `\left[\begin{gather} a-3 = 0; \\ |a-3| = 2. \end{gather}\right.` `\Rightarrow` `\left[\begin{gather} a = 3; \\ a-3=2;\\ a-3 = -2. \end{gather}\right.` `\Rightarrow` `\left[\begin{gather} a = 3; \\ a=5;\\ a=1. \end{gather}\right.`

Теперь у нас появились "кандидаты" для ответа. Но это еще не ответ. Мы уже упоминали о необходимых и достаточных условиях. Пришло время рассмотреть это подробнее.

Нестрогое рассуждение. Нам было необходимо, чтобы нашим ответом был ноль. Только он может быть единственным. Отталкиваясь от этого, мы получили те `a`, которые приведут к такому ответу. Но достаточно ли это требование, чтобы решение было единственным? Ведь не факт, что если ноль является решением уравнение, то не найдется никаких других `x`, которые так же будут решениями.

Поэтому нам придется проверить решения для каждого `a`.

Пусть `a=3`

Тогда исходное уравнение примет вид `x^2=|x|+|x|`. Решаем, пользуясь все теми же свойствами модуля:

\begin{gather} |x|^2-2|x|=0;\\ |x|\cdot(|x|-2)=0. \end{gather}

`\left[\begin{align} x&=0;\\ x&=2;\\ x&=-2. \end{align}\right.`

Отсюда видим, что при `a=3` будет три решения и одно из них ноль (чего мы и добивались изначально). Значит, такое `a` нас не устроит :(.

Пусть $a=1$

Тогда исходное уравнение будет выглядеть так: `x^2 + 4 =|x+2|+|x-2|`. Раскроем модуль по всем правилам:

$$ \left[ \begin{align} x^2+4 &= x+2 +x - 2,& &\text{ если } &x > 2;\\ x^2+4 &= x+2 -x + 2,& &\text{ если } &-2\leqslant x \leqslant 2;\\ x^2+4 &= -x-2 -x + 2,& &\text{ если } &x < -2.\\ \end{align} \right. $$ Перенеся все в левую часть и приведя подобные, получим: $$ \left[ \begin{align} x^2 -2x +4&=0,& &\text{ если } &x > 2;\\ x^2 &= 0,& &\text{ если } &-2\leqslant x \leqslant 2;\\ x^2 +2x +4&= 0,& &\text{ если } &x < -2.\\ \end{align} \right. $$ У первого и третьего уравнений дискриминант меньше нуля, значит, корней они не имеют, значит, решение $x=0$ из второго уравнения единственное.

Пусть $a=5$

Тогда исходное уравнение будет выглядеть так: $x^2 + 4 =|x-2|+|x+2|$. То есть уравнение приняло такой же вид, как и при $a=1$. Значит, и решение у него будет такое же, $x=0$. Вот мы и дошли до ответа.

Ответ: $a=1,\ a=5$.

Ну а для тех, кто хочет больше интерактива, прилагаю видео решение этой задачи:

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 3311

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить