(383) 375-08-85

  • Решение ЕГЭ
  • Решение С6 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Сибирь
30
Июль
2013

Решение С6 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Сибирь

Набор чисел и их все возможные суммы. Простое решение С6

Здравствуйте!

Вот мы и добрались до самого последнего номера ЕГЭ — С6. Как правило, эта задача вызывает наибольшие затруднения у выпускников, и в то же время, за нее бывает достаточно просто получить лишние пару баллов, немного поразмышляв над заданием. В этом году оно было простое как никогда:

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их всевозможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Приступим к решению.

Ход решения будет описан максимально подробно, как если бы мы увидели эту задачу в первый раз.

Решение первого пункта

Если загадано два числа `a, b`, то на доску будет выписано три числа: `a, b, a+b`.

Проверим, сколько будет выписано чисел, если мы загадаем три числа `a, b` и `c`.

  1. `a`,
  2. `b`,
  3. `c`,
  4. `a+b`,
  5. `a+c`,
  6. `b+c`,
  7. `a+b+c`.

Получилось 7 чисел. Начинаем отгадывать исходные три числа. Так как в выписанном наборе есть и отрицательные и положительные, но отрицательных чисел больше, то понятно, что из исходных два будет отрицательных, а одно — положительное.

Понятно, что максимальное число из выписанного набора будет одним из загаданных чисел (потому что все возможные суммы будут меньше этого числа, т. к. остальные слагаемые отрицательные).

Значит, 6 — одно из задуманных чисел.

Теперь найдем второе число. Оно отрицательное. Понятно, что второе положительное число 2 получается как сумма уже известного и искомого. Значит, второе задуманное число –4.

Чтобы теперь получить наименьшее отрицательное –11, нужно чтобы было загадано –7.

Таким образом, изначально были задуманы 6, –4, –7. Проверяем их все возможные суммы и получаем такой же набор, как и выписанный на доске. Ответ получен. Один балл в кармане :) Согласитесь, этот пункт несложный.

Решение второго пункта

Покажем, что для набора из четырех чисел ноль встретится максимум три раза.

Пусть в исходном наборе нет нуля. Тогда среди чисел `a, b, c, d` нуля нет.

Среди всех возможных пар `a+b, a+c, a+d, b+c, b+d, c+d` ноль встретится максимум два раза (поскольку пары, дающие в сумме ноль не пересекаются). Давайте объясним. В паре, сумма которой равна нулю, слагаемые равны по модулю, но имеют разные знаки. Если вдруг найдется другая пара, дающая в сумме ноль, то ее слагаемые должны отличаться от первой пары по условию. Поскольку чисел всего 4, то мы их можем разбить на две пары, суммы которых ноль.

Теперь рассмотрим сумму всех чисел (к тройкам еще вернемся). Если пар, дающих ноль две, то общая сумма будет 0, если таких пар одна, то общая сумма отличается от нуля.

Рассмотрим тройки чисел. Их можно сконструировать по такому принципу: `a+b+c = a+b+c+d-d`, т. е. мы от суммы всех чисел поочередно отнимаем по одному задуманному (так как все задуманные различны, то все суммы троек различны). Если общая сумма равна нулю, то так как в исходном наборе нуля нет, то среди троек нуля быть не может. Если общая сумма отлична от нуля, то получится, что среди троек может быть один нуль.

Случай, если в исходном наборе нуля нет рассмотрели. А что если ноль есть?

Тогда получается так: сами числа — один ноль, пары — один ноль, тройки — один ноль, четверки — нет нулей.

Удобно составить табличку, чтобы систематизировать все выше написанное.

Количество слагаемыхКоличество нулей  
 одно  0 0  1
 два  2 1  1
 три  0 1  1
 четыре  1 0  0

Показали, что для четырех слагаемых четыре нуля не получить.

Приведем пример, когда пять чисел дадут четыре нуля. Это может быть, например, набор –2, –1, 1, 2, 3.

Обращаю ваше внимание, пример приводить обязательно! Недостаточно ограничиться словами вроде: "Для набора  –2, –1, 0 , 1, 2 будет выписано семь нулей, значит, можно можно подобрать набор и для четырех нулей".

Решение третьего пункта

Он на мой взгляд легче, чем второй. Тут нужно немного "покрутить" числа и попытаться нарушить логику, которая помогла нам в первом пункте.

Чем мы руководствовались в первую очередь? Тем, что отрицательных чисел больше, чем положительных. Давайте сделаем так, чтобы их было поровну. Поскольку возиться с большими наборами не хочется, давайте предположим, что на доску выписано семь чисел, а задумано, соответственно три.

Для того, чтобы и положительных и отрицательных было поровну, на доску должен быть выписан ноль.

Интуитивно хочется, чтобы набор был симметричен. Немного подумав, выписываем числа –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3. Проверяем. Действительно, для этого набора в качестве исходных подойдет тройка –3, 1, 2 и –2, –1, 3.

Ответ получен.

 

Спасибо за внимание. Задаем вопросы в комментах и жмем на кнопки вКонтакте!

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 2842

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить