Решение С6 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Центр

Здравствуйте, дорогие читатели!

Это последняя задача из цикла Реальный ЕГЭ 2013. Не смотря на традиционную сложность задач С6, в этом году на ЕГЭ последние задачи были достаточно легкими. В принципе, любой ученик мог легко получить за них один – два балла. Мы решим задачу, которую была на ЕГЭ центрального региона.

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число `n`, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доску оставляется одно такие число `n`, а остальные числа, равные `n`, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доску будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Видно, что в пункте а) нужно просто привести пример. Это достаточно просто, с него и начнем.

Решение первого пункта

Понятно, что отрицательных чисел среди задуманных нет. Минимальным задуманным будет 2. Чтобы на доске была выписана 4, потребуем, чтобы была задумана еще одна 2.

Аналогично 6= 2+2+2, 8 = 2+2+2+2.

Получилось, что нужны набор получится, если загадать четыре двойки.

Такой же набор получится, если загадать 2, 2, 4.

Ответ на первый пункт получен, можно сказать, на пальцах.

Решение второго пункта

Если есть опыт рассуждений для подобных задач, то решение получается в одну строчку: 22 — это сумма всех задуманных чисел. Так как все числа положительные, и единице — минимальное выписанное число, то оно должно быть в исходном наборе. Значит, на доску должно быть выписано число 21 — результат суммирования всех чисел без единицы. 21 на доске нет, значит, такого набора не существует.

То есть мы пошли с конца, посмотрев, чем равна сумма всех загаданных чисел.

Если нет опыта таких рассуждений, можно пойти с начала.

1 должно быть загадано. Так как 2 не выписано на доску, значит оно не загадано и единица присутствует в исходном наборе только один раз. Получается, что 3 тоже должно быть загадано Число 4 загадано быть не может, потому что на доску было бы выписано 7 (результат 3+4). Число 5 не может быть загадано, иначе на доске было также написано число 8. Но число 5 не может быть получено как результат сложения чисел 1 и 3. Получили противоречие.

Решение третьего пункта

9 должно быть загадано (так как это наименьшее число из набора). Так как единицы и двойки среди выписанных чисел нет, то 10 и 11 тоже задумано изначально.

Сумма этих чисел 9+10+11 = 30.

Сумма всех задуманных чисел должна быть равна 52. То есть до максимума осталось 22.

22 может быть получено как само 22 (оно выписано на доску), или как 11+11.

Таким образом, у нас появилось два кандидата на ответ: 9, 10, 11, 22 или 9, 10, 11, 11, 11.

Проверяем оба набора и видим, что они удовлетворяют необходимым условиям.

 

Ответ

а) 2, 2, 2, 2 или 2, 2, 4; б) нет; в) 9, 10, 11, 22 или 9, 10, 11, 11, 11.

 

Как видно, эта задача заняла немного времени для написания и прочтения (надеюсь, для понимания тоже). Это был реальный шанс получить еще 4 балла на ЕГЭ.

Встретимся на следующих страницах, и, как обычно, жду ваших комментариев и лайков!