С1 — самое легкое задание части С из ЕГЭ по математике. Но тем не менее, по статистике хорошо ее решает только каждый десятый. Эта статья — первая из блока решений задач С1 реального ЕГЭ 2013 года.

а) Решите уравнение `\sin 2x = \sin \left( \frac {\pi}{2} +x \right)`;

б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `\left[ -\frac{7\pi}2 ; -\frac{5\pi}2\right]`.

Решение этой задачи сводится к знанию пары формул и минимальным навыкам работы с тригонометрическим кругом.

Подходит к концу серия С3 из реального ЕГЭ 2013. Неравенство из этой статьи было на экзамене в Сибирском регионе. Выглядит оно так:

`\left\{ \begin{array}{l}\log_{4-x} \dfrac{(x-4)^8}{x+5}\geqslant 8, \\ \dfrac{x^2-3x-5}{x-4}+\dfrac{x^2-6x+3}{x-6} \leqslant 2x+1. \end{array}\right.`

Как уже понятно многим читателям, это задание шаблонное и при хорошей подготовке решить его можно за 15 минут.

Предпоследнее видео из серии С3 реального ЕГЭ. На этот раз система неравенств такая:

`\left\{\begin{array}{l}\log_{3-x} \dfrac{x+4}{(x-3)^2} \geqslant -2,\\ x^3 + 6x^2+ \dfrac {21x^2+3x -12}{x-4} \leqslant 3.\end{array}\right.`

В этой статье и видеоуроке к ней мы решим систему неравенств С3 из реального ЕГЭ 2013:

`\left\{\begin{array}{l}\log_{4-x} \dfrac{-5-x}{x-4} \leqslant -1, \\ \dfrac{x^2-5x+3}{x-4} + \dfrac{5x-27}{x-6} \leqslant x+4. \end{array}\right.`

Логарифмическое неравенство решается за пару минут. А вот дроби поначалу сильно сбивают: если приводить их к общему знаменателю, то они становятся слишком громоздкими. Но решение есть, причем достаточно простое.

Здравствуйте, уважаемые читатели.

Сейчас мы решим одно из заданий С3 реального ЕГЭ по математике, который прошел в 2013 году. Выглядит оно так:

`\left\{\begin{array}{l}\log_{4-x} (16-x^2) \leqslant 1, \\ 2x +1 - \dfrac{21x+39}{x^2+x-2} \geqslant -\dfrac{1}{x+2} .\end{array}\right.`

Особых хлопот эта задача нам не доставит. (Видео прилагается)

Найти все значения `a`, при каждом из которых уравнение

`8a+\sqrt{7+6x-x^2}=ax+4`

имеет единственный корень.

Решение будет абсолютно аналогично варианту для центрального региона (ссылка на него находится ниже). Решаем графическим способом.

Найти все значения `a`, при каждом из которых уравнение

`ax+\sqrt{-7-8x-x^2}=2a+3`

имеет единственный корень.

Эта задача интересна тем, что если решать ее аналитически (возводить в квадрат, анализировать ОДЗ и проч.) то докопаться до истины крайне тяжело.

Если же решать ее графическим способом, то правильный ответ получается через за несколько минут.

Как решать это С5 из ЕГЭ 2013?

Найдите все значения параметра `a` при каждом из которых уравнение

`x^2-|x+2+a|=|x-a-2|-(a-2)^2`

имеет единственный корень.

Решать будем точно так же, как и вариант для Сибири (сслыку на него можно найти внизу статьи)

Продолжаем серию задач с параметром, где нужно найти условия для единственности решения системы уравнений. Как и в предыдущих записях, будем использовать инвариантность. Для этого обратим внимание, что если поменять `x` и `y` местами, то уравнения останутся точно такими же, как и исходно данные.

Единственное, чем усложняется данная задача - двумя параметрами. Но решить такую систему уравнений не так уж и тяжело, как может показаться вначале.

Что будет дальше - смотрим в видео.

Найдите все пары значений `a` и `b`, при каждой из которых имеет единственное решение система

\begin{cases}xyz+z=a,\\xyz^2 +z =b,\\x^2 + y^2 +z^2 =4.\end{cases}

Для того, чтобы решить часть С в ЕГЭ по математике, нужно обладать некоторой наблюдательностью. Конечно, это решение дается легче, когда наблюдательность натренирована.

Например, в этом задании, нужно заметить, что очень похоже на то, когда нам нужно искать единственное решение. Сходно здесь то, что нужно учесть: и первое и второе уравнение системы по `x` "симметрично" или иными словами инвариантно относительно нуля. Значит, для любого положительного решения по `x` всегда найдется второй отрицательный "двойник". Отсюда получим, что решений всегда будет четное число, кроме одного случая, когда `x=0`.

Итак, задание.

Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых имеет ровно три решения система уравнений

\begin{cases}y+a=|x|+5,\\x^2+(y-2a+5)^2=4.\end{cases}

Полное решение вы можете найти в видео ниже.

Представляю видеоурок с еще одним заданием С5 из ЕГЭ по математике.

Вновь нас просят найти, когда решение системы уравнений будет единственным. И здесь два пути: либо проверять на инвариантность, либо строить графики. Внимательно посмотрев на систему уравнений, увидим, что оба графика - окружности, координаты центра которых зависят от `a`, а радиусы фиксированы. Значит, построить эти фигуры не составит труда.

Итак, задание:

Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений

\begin{cases}(x-2a-5)^2 + (y-3a+5)^2=16,\\(x-a-2)^2+(y-2a+1)^2=81.\end{cases}

Большая с виду задача С5 после несложных замечаний приобретает простое решение.Здесь нам придется воспользоваться инвариантностью - неизменностью уравнений (или систем уравнений) при преобразовании переменных.
Данным свойством полезно пользоваться, если мы имеем дело с задачей на поиск единственного решения. Часто такая задача инвариантна относительно некоторой замены и для того, чтобы добиться единственности решения, нам нужно добиться "нечувствительности" к подобной замене.

Найдите все значений параметра a, при которых имеет единственное решение система уравнений

\begin{cases}z \cos (x-y)+ (2+xy) \sin (x+y)=z,\\ x^2 +(y-1)^2+z^2 = a+2x, \\(x+y+a \sin^2 z) ((1-a)\ln (1-xy)+1)=0. \end{cases}

Этот видеоразбор задачи с параметром включают в себя умение исследовать функции и анализировать полученные данные с разных точек зрения. В задании нам пригодятся знания такого свойства функции, как четность, понимание возрастания/ убывания, и его связь с производной. Нужно будет так же понять, как свойства отразятся на графической интерпретации задания. Вот, кстати и оно:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений

\begin{cases}3\cdot 2^{|x|}+5|x| + 4 = 3 y +5x^2+ 3a,\\ x^2 + y^2 = 1\end{cases}

Упражнение легко решается графически, если перенести `a^2 - 4a` в правую часть и представить, как будет выглядеть пересечение графиков правой и левой частей уравнения.

В видеоразборе этого задания нам предстоит найти те значения параметра a при которых максимум модуля разностей корней уравнения `x^2 - 6x - 12 + a^2 - 4a =0` принимает наибольшее значение.

Упражнение легко решается графически, если перенести `a^2 - 4a` в правую часть и представить, как будет выглядеть пересечение графиков правой и левой частей уравнения.

А почему бы не сложить неравенства из следующей системы?

\begin{cases} \log_7^2(x^2+4x - 20) \leqslant x-3,\\\log_7^2(x^2+2x - 14) \leqslant 3-x. \end{cases}

Тогда у нас появятся "кандидаты" для решения. Останется их подставить и проверить выполнения неравенств. Подробнее в видеоуроке.