Как решать С1. Урок 2. ЕГЭ по математике 2014

Здравствуйте!

Второй урок о том, как самостоятельно подготовиться к заданию С1 из ЕГЭ.

В первом уроке мы говорили о том, что такое единичная окружность и расставляли на ней точки. Сейчас я расскажу о том, что такое синус и косинус и как эти вещи связаны с тригонометрическим кругом. Начнем с того, что вспомним, что определения синуса и косинуса, знакомые нам из геометрии.

Определение синуса и косинуса

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник с катетами `a, b`, гипотенузой `c`, и углом против стороны `a` равным `\alpha`.

Тогда по определению

$$\sin \alpha = \frac{a}{c},$$

$$\cos \alpha = \frac{b}{c}.$$

Это то, что мы знаем из геометрии. Теперь выясним, какое это имеет отношение к единичной окружности.

Отметим на окружности уже знакомую нам по предыдущему уроку точку `t`. Затем построим прямоугольный треугольник, как показано на следующем рисунке.

Из рисунка видно, что точке `t` мы сопоставили угол `\alpha`.

Синус этого угла мы уже умеем находить. Договоримся, что `\sin t = \sin \alpha = \frac{a}{c}`. Однако гипотенуза нашего треугольника теперь равна радиусу окружности, то есть единице. Получается `\frac{a}{c} = \frac{a}{1} = a`.

Для косинуса аналогично `\cos t = \cos \alpha = \frac{b}{c} = b`.

То есть для любой точки `t` на окружности верно

$$ \sin t = a, $$

$$\cos t = b,$$

где `a` и `b` — это координаты точки `t` по оси `y` и оси `x` соответственно.

Для лучшего запоминания проведу еще такие параллели: синус — это насколько "высоко" над осью `x` находится точка, косинус — насколько удалена вбок от оси `y`. Или еще так: `\sin` ищем по вертикали, `\cos` — по горизонтали.

Если точка `t` находится в других четвертях, то все выше сказанное будет верно с уточнением, что если точка ниже оси `x`, то синус будет отрицательным. Косинус будет отрицательным, если точка левее оси `y`.

Показать это можно на следующих рисунках.

Для синуса:

Для косинуса:

Теперь давайте выпишем табличные значения косинуса и синуса (те значения, которые соответствуют точкам, найденным в первом уроке).

Табличные значения синуса и косинуса

Итак, первой пойдет точка `\frac{\pi}{6}`. Чтобы облегчить себе задачу, давайте снова ненадолго вернемся к геометрии.

Какому угол соответствует точке `t = \frac{\pi}{6}`? Если `\pi` — это развернутый угол, то `\frac{\pi}{6}` будет равен `180^\circ : 6 = 30^\circ`.

Каждый, кто помнить самый минимум из геометрии, знает, что против угла в `30^\circ` лежит катет, равный половине гипотенузы. Учитывая, что гипотенуза равна единице, получаем, длина катета `a`, который соответствует синусу, равна `\frac{1}{2}`.

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.$$

Косинус мы можем найти из теоремы Пифагора: `a^2 + b^2 = c^2`.

Зная, что синус и косинус — это длины катетов `a` и `b`, а гипотенуза равна единице, получим

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

На самом деле, мы только что мимоходом получили основное тригонометрическое тождество :)

Итак, `\cos^2 t = 1- \sin^2 t`. `\cos^2 \frac{\pi}{6} = 1 - \left( \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}`. Извлечем квадраты и получим:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Надеюсь, основной принцип ясен.

Теперь найдем значения `\sin` и `\cos` для точек `\frac{\pi}{4}` и `\frac{\pi}{3}`.

Угол, который соответствует `\frac{\pi}{4}` равен `45^\circ`. Тем, кто помнит значения синуса и косинуса `45^\circ` из геометрии, честь и хвала, а мы попробуем найти их заново.

С острым углом `45^\circ` прямоугольный треугольник будет равнобедренным, а катеты — равны друг другу. Значит, `\sin \frac{\pi}{4}= \cos \frac{\pi}{4}`.

Применим основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{4}=1,$$

заменим косинус на синус (они ведь равны)

$$\sin^2 \frac{\pi}{4} + \sin^2 \frac{\pi}{4}=1,$$

$$2\sin^2 \frac{\pi}{4} = 1,$$

$$\sin^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2},$$ $$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},  \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Для точки `\frac{\pi}{3}` (которой соответствует угол `60^\circ`) получим:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}. $$

На окружности полученные нами результаты будут выглядеть так:

Как запомнить значения синуса и косинуса

Как запомнить, какой точке какие значения синуса и косинуса соответствуют? Предлагаю правила, которые на первых порах помогают многим ученикам.

Первое — нужно выучить всего три числа:

$$\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Если точка ближе к какому-либо концу четверти (точки `\frac{\pi}{6}` и `\frac{\pi}{3}`), то смотрим, что больше, синус (по оси `y`) или косинус (по оси `x`), и выбираем для него самое большое из имеющихся значения, то есть `\frac{\sqrt{3}}{2}`. Для меньшего, соответственно, выбираем `\frac{1}{2}`.

Если это точка `\frac{\pi}{4}`, то она находится ровно посередине четверти. Синус и косинус у нее равны друг другу и, соответственно, равны `\frac{\sqrt{2}}{2}`. Еще один нестрогий способ запоминания такой. Можно посмотреть на знаменатель, и заметить там `4 = 2+2`. Одним словом, единственная цифра, которая будет фигурировать — это два, в числителе и знаменателе. Итак, запоминаем: синус Пи на 4 равен косинусу Пи на 4!

Так же обратите внимание, что значения `\frac{\sqrt{3}}{2}` и `\frac{1}{2}` всегда идут в паре. Чтобы ваш тригонометрический круг выглядел правильно, нужно придерживаться правила: если вы отмечаете точку, которой соответствует `\frac{\sqrt{3}}{2}` по одной оси, то по другой оси она должна располагаться ровно посередине соответствующего радиуса. Запоминаем, синус и косинус Пи на 3 и Пи на 6 всегда идут в паре!

Другие случаи, где может находиться точка `t`

Возможны также варианты, когда точка `t` находится в других четвертях. Все описанные в предыдущем пункте правила работают и здесь с поправкой на знак (больше нуля или меньше нуля).

Если точка находится на пересечении окружности с какой-либо осью координат, то значения синуса и косинуса будут равны нулю или единице.

Иллюстрация подобных случаев приведена ниже.

The end

Этот урок получился достаточно большим. Я постарался объяснить в нем максимально просто и понятно о том, как искать синусы и косинусы точек на круге. Ровно то же самое я рассказываю (с учетом уровня подготовки, конечно) ученикам на своих занятиях. Если хочется больше интерактива, то предлагаю посмотреть прикрепленное видео (часть про связь точек `\frac{\sqrt{3}}{2}` и `\frac{1}{2}` почему-то попала в видео для третьего урока, которое тоже можно посмотреть:)

Обязательно тренируйтесь, чтобы легко решать реальные задачи ЕГЭ. Задание от меня в этот раз следующее.

• Найдете синусы и косинусы следующих точек: `\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}, \frac{17\pi}{2}, \frac{8\pi}{3}, \frac{11\pi}{4}, \frac{19\pi}{6}`.
• Зная, что `\sin t = \frac{3}{4}`, найдите `\cos t`. (Применить основное тригонометрическое тождество).

 

На этом все. Если кому-то показалось слишком просто, то жду вас в рубрике с решением реальных ЕГЭ. Например, можно посмотреть разбор задания С1 из реального ЕГЭ 2013 для Сибири.

Конечно, ваши лайки приветствуются, ровно как и комментарии с вопросами :)