(383) 375-08-85

02
Август
2013

Как решать С1. Урок 3. ЕГЭ по математике 2014

Решение простых уравнений вида `\sin x = a, \cos x = a.`

По итогам второго урока мы знаем, что такое синус и косинус, и умеем находить их для различных точек на окружности.

Наконец, мы можем перейти к решению настоящих, но пока что простых :), уравнений.

Темой третьего урока будет решение тригонометрических уравнений вида `\sin x= a` и `\cos x = a`, где `a` принимает хорошо знакомые нам на круге значения — все возможные дроби со знаменателями `3, 4` и `6`. Если вы знаете, как решаются уравнения при таких `a`, то предлагаю сразу перейти к четвертому уроку, где рассматриваются любые `a`.

Решение простейших тригонометрических уравнений с синусом

Начнем с решения уравнения `\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}`. Вспомним, что синус равен `\frac{\sqrt{3}}{2}` для точки `\frac{\pi}{3}`.

Но ведь если мы пройдем по окружности, например, еще один круг, то мы окажемся в той же точке, только называться она будет уже `\frac{7\pi}{3}`. Таким образом, мы можем пройти любое целое количество кругов по окружности в любом направлении и все равно попадем в одну и ту же точку.

Как перечислить это множество точек, чтобы было коротко и понятно? Запись будет такая: `\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k\in \mathbb{Z}`. Это означает, что начиная от `\frac{\pi}{3}` можно пройти `k` кругов, где `k` целое.

Есть ли еще точки на окружности, синус которых будет равен `\frac{\sqrt{3}}{2}`?

Конечно есть, иначе такого вопроса бы не было. Это точки, находящиеся по левую сторону от оси `y` симметрично к `\frac{\pi}{3}`. Внимательно посмотрев на окружность, поймем, что это будет серия точек `\frac{2\pi}{3}+2\pi k, k\in \mathbb{Z}`.

решение уравнения на круге

Таким образом, решением уравнения `\sin x =\frac{ \sqrt{3}}{2}` будет:

$$\left[ \begin{array}{l} x= \frac{\pi}{3}+2\pi k, \\ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k, \end{array}\right.  k\in \mathbb{Z}.$$

Запомните! Решения уравнения вида `\sin x = a` всегда симметричны относительно оси `y`!

Решение простейших тригонометрических уравнений с косинусом

Решим уравнение `\cos x =-\frac{ \sqrt{3}}{2}.`

Удобнее всего искать ответ на круге:

Решение уравнения для косинуса

Решение уравнения для косинуса симметрично относительно оси `x`!

Таким образом, ответ будет следующий:

$$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k , k\in \mathbb {Z}.$$

Я уже второй раз говорю про симметричность корней. А что если надо решить уравнение `\cos x= -1`?

Ничего страшного в этом нет. Точки ` \pi ` и `-\pi` — это одно и то же. Зачем лишний раз удлинять ответ, если можно обойтись и без этого?

решение уравнения для косинуса

Ответ: `x = \pi + 2\pi k, k\in \mathbb{Z}`.

 

На этом третий урок подошел к концу. Он значительно короче второго урока, в котором мы разбирались, что такое синус и косинус, и учились искать их на рисунке.

Предлагаю посмотреть видео. Кроме того, что вы написано в этой статье, в нем есть комментарий о том, почему важно помнить про связь точек `\frac{\sqrt{3}}{2}` и `\frac{1}{2}`, и небольшое задание для отработки материала.

За сим откланяюсь. Жду ваших комментариев и лайков!

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 3566

  • Нравится
  • Комментарии   

    # Анастасия 24.03.2015 21:53
    скажите пожалуйста, почему при решении задачи с косинусом, точка - минус пять пи, деленная на 6? в этом месте ведь точка семь пи, деленная на шесть.
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
    # Юрлов Илья 22.12.2015 21:43
    Эти точки на круге совпадают.
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
    # Юрий 22.12.2015 20:39
    Спасибо - замечательные уроки!
    Я репетитор из Бердска - Ваше изложение
    мне очень импонирует, буду применять.
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
    # Юрлов Илья 22.12.2015 21:42
    Это прекрасно )
    Можете писать вконтакте, если вы там есть.
    Я сейчас как раз ищу хороших репетиторов для обмена опытом.
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать

    Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить