(383) 375-08-85

05
Август
2013

Как решать С1. Урок 4 (часть 2). ЕГЭ по математике 2014

Решение уравнений `\mathrm{tg}\ x = a` в общем виде. Что такое тангенс и арктангенс.

Продолжение первой части четвертого урока, как решать простейшие тригонометрические уравнения.

В первой части было рассказано, как решать уравнения `\sin x = a`, а так же `\cos x = a`. Мы познакомились с понятием арксинуса и арккосинуса.

Но для того, чтобы успешно сдать ЕГЭ, обязательно знать, как решаются такие же уравнения с тангенсами.

Начнем с определения этой функции, а затем поговорим об обратной к ней — арктангенсе.

`\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm {tg}}}`

Определение тангенса

Если мы вспомним геометрию, то тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Прямоугольный треугольник

То есть `\tg \alpha = \frac{a}{b}`.

В алгебре определение немного другое, но оно дает нам те же значения тангенса, что и определение из геометрии: $$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha}$$.

Линия тангенсов. Как найти тангенс на рисунке

Можно ли найти тангенс на единичной окружности? Давайте рассмотрим следующий рисунок.

Ось тангенсов

Треугольник `AOD` нам знаком из первой части урока. Точка `t` на рисунке не показана (она визуально совпадет с точкой `D`), поэтому будем пользоваться углом `\alpha`, который ей соответствует. Итак, `AD = \sin \alpha, OA = \cos \alpha`.

Теперь рассмотрим `\triangle OBC`. В нем по определению из геометрии `\tg \alpha = \frac{BC}{OB}`, но `OB = 1` (так как это радиус окружности), значит, `\tg \alpha = BC`.

То есть тангенс — это длина отрезка касательной от точки касания с окружностью `B` до точки пересечения с продолжением нужного нам радиуса `C`. А прямую `BC` называют осью (линией) тангенсов.

Что делать, если точка `t`, тангенс которой мы ищем находится в четвертой четверти? Тогда нужный нам отрезок на линии тангенсов лежит в нижней полуплоскости, и тангенс — отрицательный. Иллюстрация ниже.

Пример отрицательного тангенса

Случаи, когда точка находится в первой и четвертой четвертях (в правой половине окружности).

Теперь рассмотрим случай, когда точка `t` лежит во второй четверти. Пусть ей соответствует угол `\alpha`, а угол `\beta = 180^\circ - \alpha`, то есть радиусы, соответствующие `\alpha` и `\beta` лежат на диаметре.

Точка во 2 или 3 четверти

Нам нужен `\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}`. Построим прямоугольные треугольники, как мы это делали в первой части, чтобы отобразить на картине синус и косинус угла `\alpha`. Так же построим прямоугольный треугольник с углом `\beta`. (Настоятельно рекомендую читателям выполнить эти построения самостоятельно.)

Из рисунка видно, что `\sin \alpha = - \sin \beta, \cos \alpha = -\cos \beta` (это, кстати, тесно связано с формулами приведения, но о них речь пойдет в следующих уроках). Строго доказательства пока что приводить не будем.

Таким образом, получим $$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\sin \beta}{ - \cos \beta} = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}.$$

То есть `\tg \beta = \tg \alpha`, если `\alpha + \beta = 180^\circ`. Если мы вернемся от углов к точкам, то это значит, что тангенсы точек, лежащих на противоположных концах диаметра равны.

Сформулируем правило: чтобы найти тангенс точки, лежащей в левой половине окружности, нужно провести диаметр от этой точки до пересечения с осью тангенсов. Точка пересечения нам и даст значение нужного тангенса.

Табличные значения тангенса

Как водится, нас интересуют точки `0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}`.

Сперва вычислим, а затем отметим на рисунке.

$$\tg 0 = \frac{\sin 0}{\cos 0} = 0,$$
$$\tg \frac{\pi}{6}= \frac{\sin \frac{\pi}{6} }{\cos \frac{\pi}{6}}= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3},$$
$$\tg \frac{\pi}{4}= \frac{\sin \frac{\pi}{4} }{\cos \frac{\pi}{4}}= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1, $$
$$\tg \frac{\pi}{3}= \frac{\sin \frac{\pi}{3} }{\cos \frac{\pi}{3}}= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}.$$

Тангенса `\frac{\pi}{2}` не существует. Поскольку косинус этой точки равен нулю, значит, знаменатель тангенса будет равен нулю, а на ноль делить нельзя.

 Табличные значения тангенсов

Внимательно изучите этот рисунок, постарайтесь понять взаимное расположение точек на оси тангенса. Подумайте, какая точка лежит, выше, какая ниже. Заметьте, что единица лежит на той же высоте, что и верхняя точка окружности. Вопрос для самых внимательных: есть ли на этом рисунке подобные треугольники?

Определение арктангенса

Основная наша задача — научиться решать уравнения `\tg t = a`. Значит, без арктангенса не обойтись.

Так же, как мы делали для синуса и косинуса, отобразим на рисунке, как работает тангенс.

 Как работает тангенс

Все точки спроецировались на ось тангенсов.

Чтобы получить арктангенс, нужно точки спроецировать обратно на окружность. Мы знаем, что у точек, которые лежат на разных концах диаметра, тангенсы равны. Какую из них выбрать? Как в случае с синусами и косинусами, чтобы получить взаимооднозначность, договоримся, что для арктангенса будем использовать только правую половину окружности.

Так работает арктангенс

Таким образом, определение арктангенса:

$$\tg t = a, t = \mathop{\mathrm{arctg}} a, \quad a \in \mathbb{R}, t\in \left( - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right). $$

Чтобы получить точки, которые лежат в левой половине окружности, можно прибавить уже найденному арктангенсу `\pi`. Как и на синус и косинус, число оборотов точки так же не влияет на значение тангенса, значит, нам можно прибавить `\pi` любое количество раз. Если прибавить четное число раз, попадем в точку, которая соответствует арктангенсу, нечетное — в точку на другом конце диаметра в левой половине окружности, то есть общее решение уравнения `\tg t = a` можно записать `t =\mathop{\mathrm{arctg}} a+\pi k`.

На этом мы закончим теорию про тангенсы и арктангенсы.

Примеры уравнений

Давайте решим такое уравнение:

$$\frac{\sin^2 x}{\cos x}= \sin x.$$

Подробное объяснение оставим за кадром. Если будут вопросы, оставляйте их в комментариях.

ОДЗ: `\cos x ≠ 0 \Rightarrow x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi k.`

 $$\sin x \left(\frac{\sin x}{\cos x} -1 \right)=0,$$
$$\sin x \left(\tg x -1 \right)=0,$$
$$\sin x =0 \text{ или } \tg x =1,$$
Решение уравнения
$$\left[\begin{array}{l} x = \pi k, \\ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \end{array} \right. \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Задания для отработки

Решите уравнения:

  • `2\tg 3x -3 = 0`,
  • `\tg^2 x - \tg x + \sqrt{3} \tg x - \sqrt{3} = 0`,
  • `\tg^2 x + 5 \tg x + 4 = 0`.

 

На этом будем считать четвертый урок законченным. Если объяснение понравилось, ставьте лайки. Если остались какие-нибудь вопросы, давайте обсуждать их вместе.

 Видео смотреть с 13:30. Там все объяснение про тангенсы.

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 5988

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить