Как решать С1. Урок 5. ЕГЭ по математике 2014

Поздравляю вас, дорогие читатели!

Наконец-то мы дошли до решения тригонометрических уравнений. Сейчас мы решим несколько уравнений, которые похожи на задания ЕГЭ. Конечно, в реальном экзамене, задачи будут немного сложнее, но суть останется та же.

Для начала рассмотрим легкое уравнение (подобные мы уже решали в прошлых уроках, но повторить всегда полезно).

Думаю, объяснения, как решать, излишни.

 

Горизонтальным пунктиром отмечено решение для уравнения с синусом, вертикальным — с косинусом.

Таким образом, итоговое решение можно записать, например, так:

Тригонометрическое уравнение с ОДЗ

Важное отличие в этом примере, что в знаменателе появился синус. Хотя мы немного решали подобные уравнения в предыдущих уроках, стоит остановиться на ОДЗ поподробнее.

ОДЗ

`\sin x \neq 0 \Rightarrow x \neq \pi k`. Когда мы будем отмечать решение на круге, эту серию корней мы отметим специально проколотыми (открытыми) точками, чтобы показать, что `x` не может принимать такие значения.

Решение

Приведем к общему знаменателю, а затем поочередно приравняем обе скобки к нулю.

Надеюсь, решение этих уравнений не вызовет затруднений.

Серии корней — решений уравнения — показаны ниже красными точками. ОДЗ отмечена на рисунке синим.

Таким образом, понимаем, что решение уравнения `\cos x = -1` не удовлетворяет ОДЗ.
 В ответ пойдет только серия корней `x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k`.

Решение квадратного тригонометрического уравнения

Следующий пункт нашей программы — решение квадратного уравнения. Ничего сложного собой не представляет. Главное — увидеть квадратное уравнение и выполнить замену как будет показано ниже.

Решение квадратного уравнения с тангенсом

Решим следующее уравнение:

Обратим внимание, что аргумент у тангенса равен `2x` и чтобы получить окончательный ответ, нужно будет поделить на `2`. Пусть `t=\tg 2x`, тогда

Вот мы и получили ответ.

Последнее уравнение (произведение тангенса на синус)

ОДЗ

Поскольку тангенс — это дробь, знаменателем которой является косинус, то в ОДЗ получим, что `\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2}+\pi k.`

Решение

Эти уравнения решаются легко. Получим:

Теперь самое интересное: поскольку у нас было ОДЗ, нужно выполнить отбор корней. Отметим полученные серии корней на круге. (Как это сделать, детально показано в приложенном видео.)

 

Синим отмечено ОДЗ, красным — решения. Видно, что ответ будет `x = \pi k`.

На этом пятый урок закончен. Обязательно практикуйтесь в решении уравнений. Одно дело в знать ход решения в общих чертах, другое дело — сориентироваться, при решении конкретной задачи. Постепенно отрабатывайте каждый элемент решения задачи. Сейчас главное — научиться грамотно работать с тригонометрическим кругом, находить с его помощью решения, видеть ОДЗ и правильно делать замены для квадратных уравнений.

Задачи для тренировки

Решите уравнения:

• `2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0`,
• `3 {\tg}^2 2x + 2\tg 2x -1= 0`,
• `2\cos^2 3x - 5\cos 3x -3  =0`,
• `\sin^2 4x + \sin x - \cos^2x =0` (применить основное тригонометрическое тождество),
• `4\sin^2 \left(x-\frac{\pi}{3} \right) - 3 =0`.

На этом хватит. Будут вопросы — спрашивайте! Оставляйте лайки, если мой труд оказался полезен :)