(383) 375-08-85

05
Август
2013

Как решать С1. Урок 5. ЕГЭ по математике 2014

Решение тригонометрических уравнений, приближенных к заданиям ЕГЭ

Поздравляю вас, дорогие читатели!

Наконец-то мы дошли до решения тригонометрических уравнений. Сейчас мы решим несколько уравнений, которые похожи на задания ЕГЭ. Конечно, в реальном экзамене, задачи будут немного сложнее, но суть останется та же.

Для начала рассмотрим легкое уравнение (подобные мы уже решали в прошлых уроках, но повторить всегда полезно).

$$(2\cos x + 1) (2\sin x - \sqrt{3}) = 0.$$

Думаю, объяснения, как решать, излишни.

$$2\cos x + 1 = 0 \text{ или } 2\sin x - \sqrt{3} =0,$$
$$\cos x = -\frac{1}{2} \text{ или } \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2},$$
 Решение тригонометрического уравнения

Горизонтальным пунктиром отмечено решение для уравнения с синусом, вертикальным — с косинусом.

Таким образом, итоговое решение можно записать, например, так:

$$\left[ \begin{array}{l}x= \pm \frac{2\pi}{3},\\x = \frac{\pi}{3}+2\pi k. \end{array}\right.$$

Тригонометрическое уравнение с ОДЗ

$$(1+\cos x)\left(\frac{1}{\sin x} - 1\right) = 0.$$

Важное отличие в этом примере, что в знаменателе появился синус. Хотя мы немного решали подобные уравнения в предыдущих уроках, стоит остановиться на ОДЗ поподробнее.

ОДЗ

`\sin x \neq 0 \Rightarrow x \neq \pi k`. Когда мы будем отмечать решение на круге, эту серию корней мы отметим специально проколотыми (открытыми) точками, чтобы показать, что `x` не может принимать такие значения.

Решение

Приведем к общему знаменателю, а затем поочередно приравняем обе скобки к нулю.

$$(1+\cos x)\left(\frac{1-\sin x}{\sin x}\right) = 0,$$
$$1+\cos x = 0 \text{ или } \frac{1-\sin x}{\sin x} = 0,$$
$$\cos x = -1 \text{ или } \sin x=1.$$

Надеюсь, решение этих уравнений не вызовет затруднений.

Серии корней — решений уравнения — показаны ниже красными точками. ОДЗ отмечена на рисунке синим.

Решение уравнения с ОДЗ

Таким образом, понимаем, что решение уравнения `\cos x = -1` не удовлетворяет ОДЗ.
 В ответ пойдет только серия корней `x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k`.

Решение квадратного тригонометрического уравнения

Следующий пункт нашей программы — решение квадратного уравнения. Ничего сложного собой не представляет. Главное — увидеть квадратное уравнение и выполнить замену как будет показано ниже.

$$3\sin^2 x + \sin x =2,$$
$$3\sin^2 x + \sin x -2=0.$$
Пусть `t= \sin x`, тогда получим:
$$3t^2 + t-2=0.$$
$$t_1 = \frac{2}{3}, t_2 = -1.$$
Выполним обратную замену.
$$\sin x = \frac{2}{3} \text{ или } \sin x = -1.$$
Решение квадратного уравнения на круге
$$\left[\begin{array}{l}x = \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k, \\  x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k, \\ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k. \end{array} \right.$$

Решение квадратного уравнения с тангенсом

Решим следующее уравнение:

$$\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}{\tg}^2 2x - 6\tg 2x +5 =0, $$

Обратим внимание, что аргумент у тангенса равен `2x` и чтобы получить окончательный ответ, нужно будет поделить на `2`. Пусть `t=\tg 2x`, тогда

$$t^2 - 6t +5 =0, $$
$$t_1 = 5, t_2 = 1.$$
Обратная замена.
$$\tg x = 5, \tg x = 1.$$
les5 C1 4
$$\left[\begin{array}{l}2x = \arctan{5}+\pi k, \\ 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k. \end{array} \right.$$
Теперь поделим обе серии на два, чтобы узнать, чему равен, собственно, `x`.
$$\left[\begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\arctan{5}+\frac{\pi k}{2}, \\ 2x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}. \end{array} \right.$$

Вот мы и получили ответ.

Последнее уравнение (произведение тангенса на синус)

$$\tg x \cdot \sin 2x = 0.$$

ОДЗ

Поскольку тангенс — это дробь, знаменателем которой является косинус, то в ОДЗ получим, что `\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2}+\pi k.`

Решение

$$\tg x =0 \text{ или } \sin 2x = 0.$$

Эти уравнения решаются легко. Получим:

$$x = \pi k  \text{ или } 2x = \pi k,$$
$$x = \pi k  \text{ или } x = \frac{\pi k}{2}.$$

Теперь самое интересное: поскольку у нас было ОДЗ, нужно выполнить отбор корней. Отметим полученные серии корней на круге. (Как это сделать, детально показано в приложенном видео.)

 Все отмечено на круге. Ура!

Синим отмечено ОДЗ, красным — решения. Видно, что ответ будет `x = \pi k`.

 

На этом пятый урок закончен. Обязательно практикуйтесь в решении уравнений. Одно дело в знать ход решения в общих чертах, другое дело — сориентироваться, при решении конкретной задачи. Постепенно отрабатывайте каждый элемент решения задачи. Сейчас главное — научиться грамотно работать с тригонометрическим кругом, находить с его помощью решения, видеть ОДЗ и правильно делать замены для квадратных уравнений.

Задачи для тренировки

Решите уравнения:

  • `2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0`,
  • `3 {\tg}^2 2x + 2\tg 2x -1= 0`,
  • `2\cos^2 3x - 5\cos 3x -3  =0`,
  • `\sin^2 4x + \sin x - \cos^2x =0` (применить основное тригонометрическое тождество),
  • `4\sin^2 \left(x-\frac{\pi}{3} \right) - 3 =0`.

На этом хватит. Будут вопросы — спрашивайте! Оставляйте лайки, если мой труд оказался полезен :)

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 9821

  • Нравится
  • Комментарии   

    # Мария 11.08.2014 15:07
    в этом уравнении 2sinx+3√=0
    sinx=-3√2, а у вас sinx=3√2. или я ошибаюсь...
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
    # Юрлов Илья 11.08.2014 15:23
    Да, опечатка.
    Спасибо, сейчас поправлю
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
    # Всеволод 04.04.2015 19:22
    Пожалуйста, больше текстовых объяснений, зрительно воспринимается лучше, чем на слух, к тому же в видео много лишних,сбивающи х слов. Когда получаем 2 корня рекомендуют менять букву k/n ; что такое frac? В 4ом уроке у уравнения квадрат косинуса плюс два синус квадрат =0 не имеет решений. И очень прошу к заданиям для тренировки писать ответ, иначе как понять что ты сделал его правильно.
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
    # Юрлов Илья 04.04.2015 22:04
    Все, что успеваю, делаю.

    frac поправил.

    Считаете, что лучше использовать k и n — используйте.

    Как так не имеет решений? Вполне себе имеет )
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать

    Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить