(383) 375-08-85

06
Август
2013

Как решать С1. Урок 6. ЕГЭ по математике 2014

Формулы приведения тригонометрических фукнций. Решение уравнений с формулами приведения.

Здравствуйте!

Самая суть в решении тригонометрических уравнений заключается в  том, что с тригонометрическими функциями можно делать самые разные преобразования. Чем лучше вы владеете этими преобразованиями, тем выше шанс решить задание С1 быстро и наиболее рациональным способом.

В этом уроке мы поговорим о формулах приведения тригонометрических функций. Итак, что они из себя представляют?

Формулы приведения — это формулы, с помощью которых мы можем приводить все возможные тригонометрические функции, в аргументе которых стоит `x+\frac{\pi k}{2}` при некотором фиксированном целом `k` к тригонометрическим функциям, с аргументом `x`.

Чтобы было понятнее, приведу примеры. Функции `\cos \left( x+ \frac{3\pi}{2}\right), \sin \left( x+ \frac{\pi}{2}\right), \sin \left( x - \pi\right), \newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}} \tg \left( x + \pi \right)` можно привести к виду `\sin x, \cos x, - \sin x,  \tg x` соответственно.

Есть легкое правило, как пользоваться формулами приведения. Разберем его на примере `\sin \left(\frac{3\pi}{2}-x\right)`. Порядок действий следующий.

  1. Выбираете на тригонометрической окружности произвольную точку `x`. Желательно ее выбрать так, чтобы она соответствовала углу меньше `30^\circ`.
  2. Для нее отмечаем на осях отрезки, соответствующие значениям синуса и косинуса.
  3. Отмечаете на окружности точку, которая нужна в нашей формуле приведения. В выбранном примере это точка `\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)`.
  4. Затем отмечаем на осях отрезок, который соответствует нужной функции для формулы, которую будем приводить. В нашем случае нужно отметить отрезок на оси `y`, который соответствует `\sin \left(\frac{3\pi}{2}-x\right)`.
  5. Находим для точки `x` отрезок такой же длины (в нашем случае это будет косинус `x`). Бинго! Значит, `\sin \left(\frac{3\pi}{2}-x\right) = ? \cos x`. На месте вопроса должен стоять знак `+` или `-`.
  6. Смотрим, какой знак имеет требуемая в формуле приведения функция b дописываем его. В нашем случае `\sin \left(\frac{3\pi}{2}-x\right) < 0`, значит, `\sin \left(\frac{3\pi}{2}-x\right) = - \cos x`.

Иллюстрация ко всем построениям ниже.

Правило формулы приведения

Эта же схема описана в приложенном видео. Если лень читать много букв, или что-то осталось непонятно, можно посмотреть прикрепленный ролик.

Что ж, приступим к решению уравнений.

Уравнение первое, формула приведения для синуса

$$2\sin^2 \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \cos x.$$

Формулу приведения для этого случая мы только что выводили.

$$2 \left( -\cos \left(x\right)\right)^2= \cos x,$$
$$2 \cos^2 x - \cos x =0,$$
$$2 \cos^2 x -\cos x =0,$$
$$\cos x \cdot (2 \cos x -1) =0,$$
$$\cos x \cdot (2 \cos x -1) =0,$$
$$\cos x  = 0  \text{ или }  \cos x =\frac{1}{2},$$
 Решение тригонометрического уравнения

Таким образом, ответ: `\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k`.

Второе уравнение, еще одна формула приведения для синуса

$$2\cos^3 x = \sin \left(\frac{5\pi}{2} -x  \right).$$

Сперва по правилу для формул приведения упростим `\sin \left(\frac{5\pi}{2} -x  \right)`.

Так работает формула приведения

Из рисунка видно, что `\sin \left(\frac{5\pi}{2} -x  \right) = \cos x`. Дальнейшие действия очевидны.

$$2\cos^3 x = \cos x,$$
$$\cos x \cdot (2\cos^2 x  -1)= 0,$$
$$\cos x =0 \text{ или } \cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Решение уравнения для косинуса

Это решение можно записать несколькими способами. Например, заметим, если начиная от точки `\frac{\pi}{4}` мы будем прибавлять по четверть круга, то мы пройдем все точки со знаменателем `4`. Запись серии корней со знаменателем `2` трудностей вызвать не должна.

Таким образом, решение может быть записано так: `\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}; \frac{\pi}{2} +\pi k`. Другой пример записи серий корней есть в видео.

Третье и последнее уравнение

Это уравнение на связано с формулами приведения. Оно здесь, чтобы повторить пройденное в прошлых уроках и еще немного потренироваться решать задания ЕГЭ.

 $$\frac{1}{{\tg}^2 x} - \frac{1}{\sin x} -1 =0.$$

ОДЗ

Поскольку тангенс стоит в знаменателе дроби и он сам является дробью со знаменателем `\cos x`, то получим следующее ОДЗ:

`\left\{ \begin{array}{l}\tg x \neq 0, \\ \cos x\neq 0,\end{array}\right.`

откуда `x \neq  \frac{\pi k}{2}`.

Решение

Представим `\tg x` как дробь `\frac{\sin x}{\cos x}`, а вторую дробь и минус единицу приведем к общему знаменателю. Получится:

$$\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} -\frac{1+\sin x}{\sin x} = 0, $$
$$\frac{\cos^2 x - \sin x - \sin^2 x}{\sin^2 x} = 0. $$

Воспользуемся формулой приведения, `\cos^2 x +\sin^2 x =1`. Отсюда `\cos^2 x = 1- \sin^2 x`.

$$\frac{1-\sin^2x - \sin x - \sin^2 x}{\sin^2 x} = 0,$$
$$\frac{-2\sin^2x - \sin x +1}{\sin^2 x} = 0,$$
$$-2\sin^2x - \sin x +1 = 0.$$

Пусть `t =\sin x`.

$$-2t^2 - t +1 =0,$$
$$t_1 = \frac{1}{2}, t_2= -1.$$

Обратная замена.

$$\sin x = \frac{1}{2} \text{ или } \sin x = -1.$$

Отметим решение и ОДЗ на рисунке:

Решение тригонометрического уравнения и ОДЗ

Синим показано ОДЗ, красным — решение. Получили ответ: `\frac{\pi}{6} + 2\pi k,  \frac{5\pi}{6} + 2\pi k`.

 

На этом шестой урок, как решать С1 из ЕГЭ по математике окончен. Тренируйтесь решать задачи и тогда на реальном ЕГЭ легко наберете максимум за С1. Если хочется узнать немного подробнее о формулах приведения, то тогда посмотрите это видео.

И как обычно, если объяснение понравилось, то ставим лайки. Если возникли вопросы — жду их в комментариях.

 

http://решения.егэцентр.рф/matematika/kak-reshat-c1/kak-reshat-s1-urok-6-ege-po-matematike-2014

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 5636

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить