Как решать С1. Урок 8. ЕГЭ по математике 2014

Решение однородных тригонометрических уравнений первой и второй степени.

Последняя деталь, как решать задания С1 из ЕГЭ по математике — решение однородных тригонометрических уравнений. Как их решать мы расскажем в этом завершающем уроке.

Что же представляют из себя эти уравнения? Давайте запишем их в общем виде.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

где `a` и `b` — некоторые константы. Это уравнение называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени

Чтобы решить такое уравнение, нужно поделить его на `\cos x`. Тогда оно примет вид

$$\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}} a \tg x + b = 0.$$

Ответ такого уравнения легко записывается через арктангенс.

Обратите внимание, что `\cos x ≠0`. Чтобы убедиться в этом, подставим в уравнение вместо косинуса ноль и получим, что синус тоже должен быть равен нулю. Однако одновременно нулю они равны быть не могут, значит, косинус — не ноль.

Некоторые задания реального экзамена этого года сводились к однородному тригонометрическому уравнению. Перейдите по ссылке, чтобы посмотреть решение такого С1 полностью. Мы же возьмем чуть упрощенный вариант задачи.

Первый пример. Решение однородного тригонометрического уравнения первой степени

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Разделим на `\cos x`.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$\tg x =- 1,$$

$$x = -\frac{\pi}{4}+\pi k.$$

Повторюсь, подобное задание было на ЕГЭ :) конечно, нужно еще выполнить отбор корней, но это тоже не должно вызвать особых трудностей.

Давайте теперь перейдем к следующему типу уравнений.

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени

В общем виде оно выглядит так:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

где `a, b, c` — некоторые константы.

Такие уравнения решаются делением на `\cos^2 x` (который вновь не равен нулю). Давайте сразу разберем пример.

Второй пример. Решение однородного тригонометрического уравнения второй степени

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

Разделим на `\cos^2 x`.

$${\tg}^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

Заменим `t = \tg x`.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3, \ t_2 = -1.$$

Обратная замена

$$\tg x = 3, \text{ или } \tg x = -1,$$

$$x = \arctan{3}+\pi k, \text{ или } x= -\frac{\pi}{4}+ \pi k.$$

Ответ получен.

Третий пример. Решение однородного тригонометрического уравнения второй степени

$$-\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Все бы ничего, но это уравнение не однородное — нам мешает `-2` в правой части. Что делать? Давайте воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и распишем с его помощью `-2`.

$$-\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x),$$

$$-\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$

$$\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

Разделим на `\cos^2 x`.

$${\tg}^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3} \tg x - 1 = 0,$$

Замена `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac{2\sqrt{2}}{3} t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac{\sqrt{3}}{3},\ t_2 = -\sqrt{3}.$$

Выполнив обратную замену, получим:

$$\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ или } \tg x = -\sqrt{3}.$$

$$x =-\frac{\pi}{3} + \pi k,\ x = \frac{\pi}{6}+ \pi k.$$

Это последний пример в этом уроке.

Как обычно, напомню: тренировка, это наше все. Каким бы гениальным ни был человек, без тренировки навыки не разовьются. На экзамене это черевато волнением, ошибками, потерей времени (продолжите этот список самостоятельно). Обязательно занимайтесь!

Тренировочные задания

Решите уравнения:

`10^{\sin x} = 2^{\sin x} \cdot 5^{-\cos x}`. Это задание из реального ЕГЭ 2013. Знание свойств степеней никто не отменял, но если забыли, подсмотреть решение такого же уравнения можно здесь;
`\sqrt{3} \sin x + \sin^2 \frac{x}{2} = \cos^2 \frac{x}{2}`. Пригодится формула из седьмого урока.
`\sqrt{3} \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

На этом все. И как обычно напоследок: задаем вопросы в комментариях, ставим лайки, смотрим видео, учимся решать ЕГЭ.