(383) 375-08-85

10
Август
2013

Как решать С3. Урок 2. ЕГЭ по математике 2014. Метод интервалов

Метод интервалов для решения реальных задач ЕГЭ с объяснением и примерами.

Здравствуйте!

Как и обещал, сейчас мы разберем решения нескольких рациональных неравенств методом интервалов.

Начнем с разминки:

$$x^2 + (1-\sqrt{10}) x -\sqrt{10}\leqslant 0.$$

Не смотря на то, что оно такое легкое, оно было на четвертой тренировочной работе ЕГЭ 2013.

Первое, что необходимо сделать — разложить на множители. Можно, конечно, воспользоваться формулой:

$$ax^2 + bx+c = a(x-x_1)(x-x_2),$$

Но в данном случае это неудобно. Проще поступить следующим образом:

$$x^2 + (1-\sqrt{10}) x -\sqrt{10} = x^2+x - \sqrt{10} x -\sqrt{10} =$$

$$=x·(x+1) -\sqrt{10}·(x+1) = (x+1)·(x- \sqrt{10}).$$

Как бы это ни было печально, но некоторые ученики забывают, что можно так легко разложить многочлен на множители. (Вообще говоря, эта тема заслуживает отдельного урока.)

Итак, продолжаем решение.

$$(x+1)·(x- \sqrt{10}) \leqslant 0.$$

Отметим нули и знаки функции на `Ox`.

Нули функции и знаки функции на оси икс

В ответ пойдут интервалы с плюсом и нули функции: `(-∞, -1] \cup [\sqrt{10},∞)`.

Метод интервалов и большое рациональное неравенство с дробями

Наконец, перейдем к более сложным заданиям. Например, решим следующее неравенство:

$$\frac{6}{x\sqrt{3}-3}+\frac{x\sqrt{3}-6}{x\sqrt{3}-9}\geqslant 2.$$

Чтобы немного сократить запись, давайте выполним замену `t= x\sqrt{3}`. Дальнейших объяснений не привожу.

$$\frac{6}{t-3}+\frac{t-6}{t-9}\geqslant 2,$$
$$\frac{6}{t-3}+\frac{t-6}{t-9}-2\geqslant 0,$$
$$\frac{6(t-9) + (t-3)(t-6) - 2(t-3)(t-6)}{(t-3)(t-9)}\geqslant 0,$$
$$\frac{6t - 54+ t^2 - 9t + 18 - 2(t^2 - 12t+27)}{(t-3)(t-9)}\geqslant 0,$$
$$\frac{-t^2 +21t -90}{(t-3)(t-9)}\geqslant 0,$$
$$\frac{-(t-15)(t-6)}{(t-3)(t-9)}\geqslant 0,$$
$$\frac{(t-15)(t-6)}{(t-3)(t-9)}\leqslant 0.$$

Обратная замена `t= x\sqrt{3}`.

$$\frac{(x\sqrt{3}-15)(x\sqrt{3}-6)}{(x\sqrt{3}-3)(x\sqrt{3}-9)}\leqslant 0.$$
$$f(x)=(x\sqrt{3}-15)(x\sqrt{3}-6)(x\sqrt{3}-3)(x\sqrt{3}-9).$$

Нули функции: `5\sqrt{3},  2\sqrt{3},  3\sqrt{3},  \sqrt{3}`. Покажем решение на числовой оси:

Решение неравенства методом интервалов

Точки, которые соответствуют знаменателю незакрашены, красным выделено решение неравенства.

Таким образом, ответ: `(\sqrt{3}, 2\sqrt{3}]\cup (3\sqrt{3}, 5\sqrt{3}]`.

Метод интервалов и еще одно большое рациональное неравенство с дробями

Последнее неравенство в этом уроке:

$$\left( \frac{10}{5x -21} + \frac{5x -21}{10}\right)^2 \leqslant \frac{25}{4}.$$

Заменим `t = \frac{5x -21}{10}`.

$$\left(\frac{1}{t} + t\right)^2 \leqslant \frac{25}{4},$$
$$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{t} + t \leqslant \frac{5}{2}, \\ \frac{1}{t} + t \geqslant -\frac{5}{2}.\end{array}\right.$$
Как мы перешли от квадратного неравенства к системе?
Для примера возьмем неравенство `a^2 <25`. Его легко записать в виде `a^2 - 25 <0`. А затем воспользоваться формулой разность квадратов `(a-5)(a+5) <0`. В итоге получим решение `-5<a<5`. В нашем случае это удобнее расписать в виде двух разных неравенств.
$$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{t} + t -\frac{5}{2}\leqslant 0, \\ \frac{1}{t} + t + \frac{5}{2} \geqslant 0.\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}\frac{t^2 -2.5t +1}{t} \leqslant 0, \\ \frac{t^2 +2.5t +1}{t} \geqslant 0.\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}\frac{(t-2) (t-0.5)}{t} \leqslant 0, \\ \frac{(t+2) (t+0.5)}{t} \geqslant 0.\end{array}\right.$$

Нули функции для первого неравенства: `2, 0.5 , 0`; для второго неравенства: `-2, -0.5, 0`.

Отметим решения обоих неравенств на числовой оси.

Решения рациональных неравенств на числовой оси

Таким образом, видно, что решение системы неравенств для переменной `t` будет: `[-2,-0.5]\cup [0.5,2]`.

Теперь решим неравенство для `x`, вернувшись к замене `t = \frac{5x-21}{10}`.

$$\left[\begin{array}{l} -2 \leqslant \frac{5x-21}{10}\leqslant -0.5, \\ 0.5 \leqslant \frac{5x-21}{10}\leqslant 2.\end{array}\right.$$
$$\left[\begin{array}{l} -20 \leqslant 5x-21\leqslant -5, \\ 5 \leqslant 5x-21\leqslant 20.\end{array}\right.$$
$$\left[\begin{array}{l} 1 \leqslant 5x\leqslant 16, \\ 26 \leqslant 5x\leqslant 41.\end{array}\right.$$
$$\left[\begin{array}{l} \frac{1}{5} \leqslant x\leqslant 3\frac{1}{5}, \\ 5\frac{1}{5} \leqslant x\leqslant 8\frac{1}{5}.\end{array}\right.$$

Вот и получили ответ.

 

Задания для тренировки

Решите неравенства:

  • `(5x+2)(9-5x)(25x^2-35-18)<0`,
  • `x^2+(2-\sqrt{15})x -2\sqrt{15}\leqslant 0`.

Решите систему неравенств:

`\left\{\begin{array}{l} \dfrac{2}{0.5x \sqrt5-1}+ \dfrac{0.5 x\sqrt{5}-2}{0.5 x\sqrt{5}-3} \geqslant 2,\\ \left( \dfrac{2}{x-4}+ \dfrac{x-4}{2}\leqslant \dfrac{25}{4}\right)^2 \end{array}\right.`

 

На этом все. Оставляйте вопросы в комментариях, будем разбираться вместе. Оставляйте лайки и делитесь с друзьями! До новых встреч.

PS: В видео есть разбор всех неравенств этого урока.

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 5086

  • Нравится
  • Комментарии   

    # Надежда 22.11.2013 00:30
    Спасибо вам огромное за такие обучающие видео!!! Спасибо!
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
    # Юрлов Илья 07.12.2013 21:34
    Рад, что видео оказалось полезным. На youtube выложил новую небольшую серию видео уроков по решению С5, смотрите на здоровье!
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
    # Светлана 07.12.2013 13:08
    Уважаемый Илья! я просмотрела несколько ваших уроков. Спасибо большое за некоторые подсказки и идеи. Если позволите, я сделаю некоторые замечания.
    При замене переменных удобнее решать неравенство относительно новой переменно, а затем делать обратную замену.
    при решении системы уравнений С-3 в диагн. раб № 16 решением сразу будет х=3.Это их общее решение! И проверка не обязательна, т.к. выражения, стоящие под знаком логарифма уже = 1, а значит положительны.
    С уважением Светлана Яковлевна, учитель математики.
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
    # Юрлов Илья 07.12.2013 21:39
    Здравствуйте!
    Спасибо за комментарий. Да, конечно, в 16 диагностической в С3 я много лишнего и даже неправильного написал ) Надеюсь, учеников это не собьет с толку.

    А по поводу новой переменной: так поступил, чтобы двойное неравенство не решать (и не объяснять) относительно исходной переменной.
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
    # Алёна 09.02.2014 11:28
    А где найти ответы на задания для тренировки, чтобы себя проверить?
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать

    Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить