Как решать С3. Урок 2. ЕГЭ по математике 2014. Метод интервалов
Метод интервалов для решения реальных задач ЕГЭ с объяснением и примерами.
Здравствуйте!
Как и обещал, сейчас мы разберем решения нескольких рациональных неравенств методом интервалов.
Начнем с разминки:
Не смотря на то, что оно такое легкое, оно было на четвертой тренировочной работе ЕГЭ 2013.
Первое, что необходимо сделать — разложить на множители. Можно, конечно, воспользоваться формулой:
Но в данном случае это неудобно. Проще поступить следующим образом:
$$x^2 + (1-\sqrt{10}) x -\sqrt{10} = x^2+x - \sqrt{10} x -\sqrt{10} =$$
$$=x·(x+1) -\sqrt{10}·(x+1) = (x+1)·(x- \sqrt{10}).$$
Как бы это ни было печально, но некоторые ученики забывают, что можно так легко разложить многочлен на множители. (Вообще говоря, эта тема заслуживает отдельного урока.)
Итак, продолжаем решение.
$$(x+1)·(x- \sqrt{10}) \leqslant 0.$$
Отметим нули и знаки функции на `Ox`.

В ответ пойдут интервалы с плюсом и нули функции: `(-∞, -1] \cup [\sqrt{10},∞)`.
Метод интервалов и большое рациональное неравенство с дробями
Наконец, перейдем к более сложным заданиям. Например, решим следующее неравенство:
Чтобы немного сократить запись, давайте выполним замену `t= x\sqrt{3}`. Дальнейших объяснений не привожу.
Обратная замена `t= x\sqrt{3}`.
Нули функции: `5\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 3\sqrt{3}, \sqrt{3}`. Покажем решение на числовой оси:

Точки, которые соответствуют знаменателю незакрашены, красным выделено решение неравенства.
Таким образом, ответ: `(\sqrt{3}, 2\sqrt{3}]\cup (3\sqrt{3}, 5\sqrt{3}]`.
Метод интервалов и еще одно большое рациональное неравенство с дробями
Последнее неравенство в этом уроке:
Заменим `t = \frac{5x -21}{10}`.
- Как мы перешли от квадратного неравенства к системе?
- Для примера возьмем неравенство `a^2 <25`. Его легко записать в виде `a^2 - 25 <0`. А затем воспользоваться формулой разность квадратов `(a-5)(a+5) <0`. В итоге получим решение `-5<a<5`. В нашем случае это удобнее расписать в виде двух разных неравенств.
Нули функции для первого неравенства: `2, 0.5 , 0`; для второго неравенства: `-2, -0.5, 0`.
Отметим решения обоих неравенств на числовой оси.

Таким образом, видно, что решение системы неравенств для переменной `t` будет: `[-2,-0.5]\cup [0.5,2]`.
Теперь решим неравенство для `x`, вернувшись к замене `t = \frac{5x-21}{10}`.
Вот и получили ответ.
Задания для тренировки
Решите неравенства:
- `(5x+2)(9-5x)(25x^2-35-18)<0`,
- `x^2+(2-\sqrt{15})x -2\sqrt{15}\leqslant 0`.
Решите систему неравенств:
`\left\{\begin{array}{l} \dfrac{2}{0.5x \sqrt5-1}+ \dfrac{0.5 x\sqrt{5}-2}{0.5 x\sqrt{5}-3} \geqslant 2,\\ \left( \dfrac{2}{x-4}+ \dfrac{x-4}{2}\leqslant \dfrac{25}{4}\right)^2 \end{array}\right.`
На этом все. Оставляйте вопросы в комментариях, будем разбираться вместе. Оставляйте лайки и делитесь с друзьями! До новых встреч.
PS: В видео есть разбор всех неравенств этого урока.
- Теги: видео, метод интервалов, неравенство, рациональное неравенство, теория
- Рубрики: Уроки ЕГЭ, Как решать C3
Комментарии
При замене переменных удобнее решать неравенство относительно новой переменно, а затем делать обратную замену.
при решении системы уравнений С-3 в диагн. раб № 16 решением сразу будет х=3.Это их общее решение! И проверка не обязательна, т.к. выражения, стоящие под знаком логарифма уже = 1, а значит положительны.
С уважением Светлана Яковлевна, учитель математики.
Спасибо за комментарий. Да, конечно, в 16 диагностической в С3 я много лишнего и даже неправильного написал ) Надеюсь, учеников это не собьет с толку.
А по поводу новой переменной: так поступил, чтобы двойное неравенство не решать (и не объяснять) относительно исходной переменной.
RSS лента комментариев этой записи