А почему бы не сложить неравенства из следующей системы?

\begin{cases} \log_7^2(x^2+4x - 20) \leqslant x-3,\\\log_7^2(x^2+2x - 14) \leqslant 3-x. \end{cases}

Тогда у нас появятся "кандидаты" для решения. Останется их подставить и проверить выполнения неравенств. Подробнее в видеоуроке.

Видеоурок по следующей системе неравенств:

\begin{cases} \log_7 (x^2 - 9 )\leqslant 1,\\ \frac{2x^2+x-28}{6^{x-6}+5^{x-5}-4} \leqslant 0. \end{cases}

Первое неравенство решается просто в лоб. А про второе я подскажу: при тех `x`, которые являются решениями первого неравенства, знаменатель во втором всегда будет меньше нуля. Итого у нас остается квадратное выражение, которое решается методом интервалов.

Логарифмы в этом видеоуроке дейтсвительно ничем не связаны между собой - их основания и аргументы слишком различны, при кажущемся вначале сходстве.

`\log_{2-x} (x+2) \cdot \log _{x+3} (3-x) \leqslant 0.`

Как решать такое? Можно, конечно, разбить на совокупность неравенств и решать 4 почти одинаковых задачи. Мы же воспользуемся рационализацией неравенств и ответ получится сам собой :)

Здесь перед нами только одно неравенство, но переменная и в основании логарифма и в аргументе:

`\log ^2_{x+2} (x-18)^2 + 32 \leqslant 16 \log_{x+2} (36+16x -x^2)`

Внимательнее рассмотрев аргумент второго логарифма, увидим, что он раскладывается на скобки `(x+2) (18-x)`. В видео мы воспользуемся свойствами логарифма и не забудем про ОДЗ, и решение готово!

Здесь вас ждет решение системы неравенств:

\begin{cases} 4 \log_9 (x+4{,}5) - 1  \geqslant 3^{4x^2 - 9}, \\ 3-4 \log_9 (x+4{,}5) \geqslant 3^{9-4x^2}. \end{cases}

Оба неравенства содержат как логарифм так и показательную функцию. Это не очень хорошо. Но в то же время логарифмы совершенно одинаковы, а показательные функции отличаются только знаками в показателе. Что если эти неравенства сложить?

Видео с решением системы неравенств:

\begin{cases} 4^{x+1} - 17\cdot 2^x +4 \leqslant 0; \\ \log^2_{|x|} (x^2) +\log_2 (x^2) \leqslant 6. \end{cases}

Что мы видим в данном примере? Первое неравенство легко приводится к степеням с основанием 2 и в дальнейшем решается как обычное квадратное неравенство. С логарифмом на первый взгляд интереснее.

Хотя нет :) первый логарифм - это просто двойка, возведенная в квадрат. Так что во втором неравенстве у нас остается только один логарифм. Ну а решить такое неравенство не составляет труда. Главное - в ОДЗ не запутаться.

Видеоурок по системе неравенств:

\begin{cases} 4^x \leqslant 9\cdot 2^x+22, \\ \log_3 (x^2 - x- 2) \leqslant 1+ \log_3 \frac{x+1}{x-2} \end{cases}

Все неравенства легко сводятся к методу интервалов (кстати, по методу интервалов есть пара уроков с видео). Самый большой замес возникает, когда на итоговом этапе решения нужно расположитькорни в правильном порядке. Как это сделать, можно посмотреть в видео.