(383) 375-08-85

20
Июль
2013

Решение С3 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Урал

Логарифмическое неравенство и упрощение алгебраических дробей

Здравствуйте, уважаемые читатели.

Сейчас мы решим одно из заданий С3 реального ЕГЭ по математике, который прошел в 2013 году. Выглядит оно так:

`\left\{\begin{array}{l}\log_{4-x} (16-x^2) \leqslant 1, \\ 2x +1 - \dfrac{21x+39}{x^2+x-2} \geqslant -\dfrac{1}{x+2} .\end{array}\right.`

Особых хлопот эта задача нам не доставит. (Видео прилагается)

Первое неравенство

Начнем с первого неравенства (на мой взгляд оно легче второго — оно легко решается, если действовать по шаблону).

ОДЗ

Основание логарифма больше нуля и не равно единице, аргумент — тоже больше нуля.

 `\left\{\begin{array}{l} 4-x > 0,\\ 4-x \neq 1,\\ 16-x^2 >0.\end{array} \right.`

Отсюда получаем:

`\left\{\begin{array}{l} -4<x < 4,\\ x \neq 3.\end{array} \right.`

Решение неравенства

Единицу переносим влево и представляем как логарифм с основанием `4-x`:

`\log_{4-x} (16-x^2) - \log_{4-x}(4-x) \leqslant 0.`

Теперь разность логарифмов представим как логарифм частного (заодно аргумент первого логарифма распишем по формуле разности квадратов? а потом сократим со знаменателем):

`\log_{4-x} \dfrac{(4-x)(4+x)}{4-x} \leqslant 0,`

`\log_{4-x} (4+x) \leqslant 0.`

 Теперь воспользуемся рационализацией неравенств с логарифмом:

`(4-x-1) (4+x-1) \leqslant 0,`

`(3-x)(3+x) \leqslant 0.`

Отсюда через метод интервалов получаем решение:

Чтобы получить окончательное решение, наложим ОДЗ:

На рисунке желтым цветом показано, где совпадет ОДЗ и решение неравенства.

Перейдем ко второму неравенству.

Второе неравенство

Самое интересное в данном неравенстве — это заметить, что знаменатель первой дроби хорошо раскладывается на множители. По теореме Виета получим: `x^2 + x -2 = (x+2)(x-1)`. (Хотя если теорема Виета вам знакома плохо, того же самого можно добиться, найдя корни через дискриминант.) Видно, что один из множителей совпадает с числителем второй дроби — нам легче приводить к общему знаменателю.

Дальше — дело техники. Переносим дробь из правой части в левую и домножаем ее на `x-1` и складываем с первой дробью. Получим:

`2x+1 + \dfrac{-21x-39 +x-1}{(x+2)(x-1)}\leqslant 0,`

`2x+1 + \dfrac{-20x-40}{(x+2)(x-1)}\leqslant 0.`

Сократим числитель и знаменатель (при этом запомним, что `x\neq -2`, а затем запишем все под одной чертой:

`2x+1 + \dfrac{-20}{(x-1)}\leqslant 0.`

`\dfrac{2x^2-x-21}{(x-1)}\leqslant 0.`

Далее решаем методом интервалов. Числитель придется раскладывать с помощью дискриминанта. (Не люблю это дело — долго и скучно).

`D = 1 + 2\cdot 4\cdot 21 = 169`.
`x_1 = \frac{1  + 13}{4} = 3{,}5.`
`x_2 = \frac{1  - 13}{4} = -3.`

Таким образом, решение этого неравенства на числовой прямой будет выглядеть так:

Совмещаем решения

Пришло время совместить решения первого и второго неравенства. Это будет выглядеть так:

Область, где обе штриховки совпадают, отмечена красным.

Из рисунка виден ответ: `x\in \{-3\}\cup [3{,}5,4)`.

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 5309

  • Нравится
  • Комментарии   

    # Николай 31.05.2015 22:14
    В задании на сайте в правой части второгонеравенс тва знаменательно равен х-2,а на видио х+2,кому верить?)
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
    # Юрлов Илья 31.05.2015 23:02
    Спасибо, должен быть плюс.
    Поправил
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать

    Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить