Решение С3 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Урал
Логарифмическое неравенство и упрощение алгебраических дробей
Здравствуйте, уважаемые читатели.
Сейчас мы решим одно из заданий С3 реального ЕГЭ по математике, который прошел в 2013 году. Выглядит оно так:
`\left\{\begin{array}{l}\log_{4-x} (16-x^2) \leqslant 1, \\ 2x +1 - \dfrac{21x+39}{x^2+x-2} \geqslant -\dfrac{1}{x+2} .\end{array}\right.`
Особых хлопот эта задача нам не доставит. (Видео прилагается)
Первое неравенство
Начнем с первого неравенства (на мой взгляд оно легче второго — оно легко решается, если действовать по шаблону).
ОДЗ
Основание логарифма больше нуля и не равно единице, аргумент — тоже больше нуля.
`\left\{\begin{array}{l} 4-x > 0,\\ 4-x \neq 1,\\ 16-x^2 >0.\end{array} \right.`
Отсюда получаем:
`\left\{\begin{array}{l} -4<x < 4,\\ x \neq 3.\end{array} \right.`
Решение неравенства
Единицу переносим влево и представляем как логарифм с основанием `4-x`:
`\log_{4-x} (16-x^2) - \log_{4-x}(4-x) \leqslant 0.`
Теперь разность логарифмов представим как логарифм частного (заодно аргумент первого логарифма распишем по формуле разности квадратов? а потом сократим со знаменателем):
`\log_{4-x} \dfrac{(4-x)(4+x)}{4-x} \leqslant 0,`
`\log_{4-x} (4+x) \leqslant 0.`
Теперь воспользуемся рационализацией неравенств с логарифмом:
`(4-x-1) (4+x-1) \leqslant 0,`
`(3-x)(3+x) \leqslant 0.`
Отсюда через метод интервалов получаем решение:
Чтобы получить окончательное решение, наложим ОДЗ:
На рисунке желтым цветом показано, где совпадет ОДЗ и решение неравенства.
Перейдем ко второму неравенству.
Второе неравенство
Самое интересное в данном неравенстве — это заметить, что знаменатель первой дроби хорошо раскладывается на множители. По теореме Виета получим: `x^2 + x -2 = (x+2)(x-1)`. (Хотя если теорема Виета вам знакома плохо, того же самого можно добиться, найдя корни через дискриминант.) Видно, что один из множителей совпадает с числителем второй дроби — нам легче приводить к общему знаменателю.
Дальше — дело техники. Переносим дробь из правой части в левую и домножаем ее на `x-1` и складываем с первой дробью. Получим:
`2x+1 + \dfrac{-21x-39 +x-1}{(x+2)(x-1)}\leqslant 0,`
`2x+1 + \dfrac{-20x-40}{(x+2)(x-1)}\leqslant 0.`
Сократим числитель и знаменатель (при этом запомним, что `x\neq -2`, а затем запишем все под одной чертой:
`2x+1 + \dfrac{-20}{(x-1)}\leqslant 0.`
`\dfrac{2x^2-x-21}{(x-1)}\leqslant 0.`
Далее решаем методом интервалов. Числитель придется раскладывать с помощью дискриминанта. (Не люблю это дело — долго и скучно).
`D = 1 + 2\cdot 4\cdot 21 = 169`.
`x_1 = \frac{1 + 13}{4} = 3{,}5.`
`x_2 = \frac{1 - 13}{4} = -3.`
Таким образом, решение этого неравенства на числовой прямой будет выглядеть так:
Совмещаем решения
Пришло время совместить решения первого и второго неравенства. Это будет выглядеть так:
Область, где обе штриховки совпадают, отмечена красным.
Из рисунка виден ответ: `x\in \{-3\}\cup [3{,}5,4)`.
- Теги: видео, деление многочленов, логарифмическое неравенство, рационализация неравенств, рациональное неравенство, реальный ЕГЭ
- Рубрики: Решение задач ЕГЭ, C3
Комментарии
Поправил
RSS лента комментариев этой записи