Решение С5 по математике. Диагностическая 3, ЕГЭ 2013
Задача с параметром. Существование решения.
После небольшого перерыва, продолжаем писать решения задач ЕГЭ с параметром.
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение
$$\frac{4^{-x^2}-a\cdot 2^{1-x^2}+a}{2^{1-x^2}-1} = 3$$имеет хотя бы одно решение.
Первым делом обратим внимание, что это все степени можно привести к основанию `2` с показателем `-x^2`. Затем мы сможем сделать замену `t=2^{-x^2}`.
Приведя все степени к одинаковому виду, получим:
Заменим `t=2^{-x^2}`. Сразу заметим, что `0<t \leqslant 1`. (Это очень важный момент в решении данной задачи. Далее получим:
Из знаменателя имеем, что `t\neq \frac{1}{2}`. Подставив `\frac{1}{2}` вместо `t` в числитель, убедимся, что `t` не может равняться `\frac{1}{2}` ни при каком значении параметра `a`. Таким образом, знаменатель не ноль и от него можно смело избавиться (умножив уравнение на `2t-1`).
Наше уравнение привелось к виду:
$$t^2-2(a+3)t+a+3 =0.$$
Вспомним, что `t` принимает значения на интервале `(0,1]`. То есть, нам нужно найти такие значения параметра `a`, при которых данное уравнение будет иметь решение на требуемом интервале `(0,1]`.
Далее будем решать графически. Рассмотрим все возможные варианты расположения параболы, чтобы при этом решение находилось в интервале `(0,1]`.
Грубый макет, как может себя вести парабола представлен ниже. (Настоятельно рекомендую поэкспериментировать с кнопками "<-" и "->" ).
(кнопки двигают параболу вдоль oX)
Как видно из модели, нам интересны следующие расположения параболы относительно интервала `(0,1]`:
- правая ветвь параболы пересекает ось Х внутри требуемого интервала,
- левая ветвь параболы пересекает ось Х внутри требуемого интервала,
- обе ветви пересекают пересекает ось Х внутри требуемого интервала.
Поскольку каждая ветвь параболы непрерывна и монотонна (если непонятно, зачем я это написал, спросите в комментариях), то алгебраически эти условия могут быть записаны так:
- `\left\{\begin{array}{l}f(0)<0, \\ f(1) \geqslant 0;\end{array} \right.`
- `\left\{\begin{array}{l}f(0)>0, \\ f(1) \leqslant 0;\end{array} \right.`
- `\left\{\begin{array}{l}f(0)>0, \\ f(1) >0, \\ f(t_0) \leqslant 0;\end{array} \right.`
где `t_0` — вершина параболы.
Найдем вершину параболы `t_0 = \frac{2(a+3)}{2} = a+3`. Теперь, подставив вместо `t` `0, 1` и `a+3`, получим перечисленные выше условия для `a`:
- `\left\{\begin{array}{l}a+3<0, \\ -a-2 \geqslant 0;\end{array} \right.`
- `\left\{\begin{array}{l}a+3>0, \\ -a-2 \leqslant 0;\end{array} \right.`
- `\left\{\begin{array}{l}a+3>0, \\ -a-2 > 0, \\ a^2+5a+6 \geqslant 0.\end{array} \right.`
Отсюда получим:
- `\left\{\begin{array}{l}a<-3, \\ a \leqslant -2;\end{array} \right.`
- `\left\{\begin{array}{l}a>-3, \\ a \geqslant -2;\end{array} \right.`
- `\left\{\begin{array}{l}a>-3, \\ a < -2, \\ \left[\begin{array}{l} a \geqslant -2, \\ a \leqslant -3. \end{array} \right. \end{array} \right.`
В итоге решение этих систем уравнений даст нам ответ: `a\in (-∞ ; -3) \cup [-2; ∞)`.
На этом все. Решение особо расписывать не стал, надеюсь, оно не стало от этого менее понятным. Если все же возникли вопросы — оставляйте их в комментариях. И, конечно, ставьте лайки.
- Теги: видео, графический метод, диагностическая работа, интерактивный график, параметр, решение на интервале, Существование решения
- Рубрики: Решение задач ЕГЭ, C5
Добавить комментарий