(383) 375-08-85

13
Сентябрь
2013

Решение С5 по математике. Диагностическая 3, ЕГЭ 2013

Задача с параметром. Существование решения.

После небольшого перерыва, продолжаем писать решения задач ЕГЭ с параметром.

Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение
$$\frac{4^{-x^2}-a\cdot 2^{1-x^2}+a}{2^{1-x^2}-1} = 3$$
имеет хотя бы одно решение.

Первым делом обратим внимание, что это все степени можно привести к основанию `2` с показателем `-x^2`. Затем мы сможем сделать замену `t=2^{-x^2}`.

Приведя все степени к одинаковому виду, получим:

$$\frac{2^{-2x^2}-2a\cdot 2^{-x^2}+a}{2\cdot 2^{-x^2}-1} = 3.$$

Заменим `t=2^{-x^2}`. Сразу заметим, что `0<t \leqslant 1`. (Это очень важный момент в решении данной задачи. Далее получим:

$$\frac{t^2-2at+a}{2t-1} = 3,$$
$$\frac{t^2-2at+a-6t+3}{2t-1} =0,$$
$$\frac{t^2-2(a+3)t+a+3}{2t-1} =0.$$

Из знаменателя имеем, что `t\neq \frac{1}{2}`. Подставив `\frac{1}{2}` вместо `t` в числитель, убедимся, что `t` не может равняться `\frac{1}{2}` ни при каком значении параметра `a`. Таким образом, знаменатель не ноль и от него можно смело избавиться (умножив уравнение на `2t-1`).

Наше уравнение привелось к виду:

$$t^2-2(a+3)t+a+3 =0.$$

Вспомним, что `t` принимает значения на интервале `(0,1]`. То есть, нам нужно найти такие значения параметра `a`, при которых данное уравнение будет иметь решение на требуемом интервале `(0,1]`.

Далее будем решать графически. Рассмотрим все возможные варианты расположения параболы, чтобы при этом решение находилось в интервале `(0,1]`.

Грубый макет, как может себя вести парабола представлен ниже. (Настоятельно рекомендую поэкспериментировать с кнопками "<-" и "->" ).


(кнопки двигают параболу вдоль oX)

Как видно из модели, нам интересны следующие расположения параболы относительно интервала `(0,1]`:

  1. правая ветвь параболы пересекает ось Х внутри требуемого интервала,
  2. левая ветвь параболы пересекает ось Х внутри требуемого интервала,
  3. обе ветви пересекают пересекает ось Х внутри требуемого интервала.

Поскольку каждая ветвь параболы непрерывна и монотонна (если непонятно, зачем я это написал, спросите в комментариях), то алгебраически эти условия могут быть записаны так:

  1. `\left\{\begin{array}{l}f(0)<0, \\ f(1) \geqslant 0;\end{array} \right.`
  2. `\left\{\begin{array}{l}f(0)>0, \\ f(1) \leqslant 0;\end{array} \right.`
  3. `\left\{\begin{array}{l}f(0)>0, \\ f(1) >0, \\ f(t_0) \leqslant 0;\end{array} \right.`

где `t_0` — вершина параболы.

Найдем вершину параболы `t_0 = \frac{2(a+3)}{2} = a+3`. Теперь, подставив вместо `t` `0, 1` и `a+3`, получим перечисленные выше условия для `a`:

  1. `\left\{\begin{array}{l}a+3<0, \\ -a-2 \geqslant 0;\end{array} \right.`
  2. `\left\{\begin{array}{l}a+3>0, \\ -a-2 \leqslant 0;\end{array} \right.`
  3. `\left\{\begin{array}{l}a+3>0, \\ -a-2 > 0, \\ a^2+5a+6 \geqslant 0.\end{array} \right.`

Отсюда получим:

  1. `\left\{\begin{array}{l}a<-3, \\ a \leqslant -2;\end{array} \right.`
  2. `\left\{\begin{array}{l}a>-3, \\ a \geqslant -2;\end{array} \right.`
  3. `\left\{\begin{array}{l}a>-3, \\ a < -2, \\ \left[\begin{array}{l} a \geqslant -2, \\ a \leqslant -3. \end{array} \right. \end{array} \right.`

В итоге решение этих систем уравнений даст нам ответ: `a\in (-∞ ; -3) \cup [-2; ∞)`.

 

На этом все. Решение особо расписывать не стал, надеюсь, оно не стало от этого менее понятным. Если все же возникли вопросы — оставляйте их в комментариях. И, конечно, ставьте лайки.

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 3529

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить