Решение С5 по математике (2). Диагностическая 3, ЕГЭ 2013
Задача с параметром. Существование решения.
Эта задача похожа на ту, что мы недавно разбирали. (Неудивительно, ведь они из одной и той же диагностической).
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение$$\frac{1-2a\sqrt{1+x^2}+a\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)-2\sqrt{1+x^2}} = 3$$имеет хотя бы одно решение.
Очевидно, что здесь мы будем вводить новую переменную `t= \sqrt{1+x^2}`. И вот теперь начинается самое интересное: нужно внимательно посмотреть на область значений введенной переменной.
Поскольку `1+x^2 \geqslant 1`, а корень — функция монотонно возрастающая, то область значений такая: `t\in [1, ∞)`.
Почему это важно? Потому что сейчас наша задача переформулируется так:
Найти значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение$$\frac{1-2at+at^2}{t^2-2t} = 3$$имеет решение на промежутке `t\in [1,∞)`.
Вообще говоря, эта задача может иметь решения и на других промежутках, но для нас важен именно этот, потому что только такие значения может принимать переменная `t`
Итак, решаем.
Можем ли мы избавиться от знаменателя? Да, если учтем те значения `a`, при которых `t` будет равняться нулю и двум. Подставив эти значения `t` в числитель, придем к выводу, что ни при каких значениях `a`, мы не получим значения `t \in \{0,2\}`. Таким образом, спокойно избавляемся от знаменателя.
Пришли к обычному квадратному уравнению относительно `t`. Нам нужно добиться, чтобы его решения были на отрезке `[1,∞)`. Для того, чтобы понять, когда выполнится это условие, обратимся к графику нашей функции.
При `a=3` выражение приводит нас к неверному равенству. Если же `a≠3`, то графиком будет парабола.
Обратим внимание, что направление ветвей (вверх или вниз), зависит от параметра `a`.
Исследуем нашу функцию дальше. По формуле для вершины параболы найдем вершину `t=1`. Заметим, что ее абсцисса не зависит от параметра `a`.
Поскольку нам нужно решение на интервале `[1,∞)`, очевидно, что графически это будет выглядеть как пересечение правой ветки параболы с осью абсцисс, или как касание параболы оси абсцисс в точке `t=1`.
Предлагаю разобраться самостоятельно с помощью графика:
Параметр `a= `
(кнопки двигают вершину параболы)
Если ветви направлены вверх, то чтобы парабола пересекла ось x или коснулась ее, необходимо, чтобы значение функции в точке `1` было отрицательно или равно нулю:
Действительно, если значение функции при `t=1` отрицательно, то так как ветви направлены вверх, мы можем быть уверены. что парабола рано или поздно пересечет ось абсцисс правее этой точки.
Аналогично для ветвей вниз:
$$\left\{\begin{array}{l}a-3<0, \\ f(1) \geqslant 0.\end{array} \right.$$
В итоге получим следующую систему неравенств для `a`:
Отсюда виден ответ: `a\in (-∞,3)\cup [4,∞)`.
Спасибо за интерес к урокам по математике. Постоянные тренировки ума обязательно принесут пользу в дальнейшей жизни :)
Ставьте лайки, если решение было понятным и понравилось, и оставляйте свои вопросы в комментариях.
- Теги: видео, графический метод, диагностическая работа, интерактивный график, параметр, решение на интервале, Существование решения
- Рубрики: Решение задач ЕГЭ, C5
Комментарии
RSS лента комментариев этой записи