(383) 375-08-85

  • Решение ЕГЭ
  • C5
  • Решение С5 по математике (2). Диагностическая 3, ЕГЭ 2013
20
Сентябрь
2013

Решение С5 по математике (2). Диагностическая 3, ЕГЭ 2013

Задача с параметром. Существование решения.

Эта задача похожа на ту, что мы недавно разбирали. (Неудивительно, ведь они из одной и той же диагностической).

Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение
$$\frac{1-2a\sqrt{1+x^2}+a\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)-2\sqrt{1+x^2}} = 3$$
имеет хотя бы одно решение.

Очевидно, что здесь мы будем вводить новую переменную `t= \sqrt{1+x^2}`. И вот теперь начинается самое интересное: нужно внимательно посмотреть на область значений введенной переменной.

Поскольку `1+x^2 \geqslant 1`, а корень — функция монотонно возрастающая, то область значений такая: `t\in [1, ∞)`.

Почему это важно? Потому что сейчас наша задача переформулируется так:

Найти значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение
$$\frac{1-2at+at^2}{t^2-2t} = 3$$
имеет решение на промежутке `t\in [1,∞)`.

Вообще говоря, эта задача может иметь решения и на других промежутках, но для нас важен именно этот, потому что только такие значения может принимать переменная `t`

Итак, решаем.

$$\frac{1-2at+at^2-3t^2+6t}{t^2-2t} = 0,$$
$$\frac{(a-3)t^2-2(a-3)t +1}{t^2-2t} = 0.$$

Можем ли мы избавиться от знаменателя? Да, если учтем те значения `a`, при которых `t` будет равняться нулю и двум. Подставив эти значения `t` в числитель, придем к выводу, что ни при каких значениях `a`, мы не получим значения `t \in \{0,2\}`. Таким образом, спокойно избавляемся от знаменателя.

$$(a-3)t^2-2(a-3)t +1 = 0.$$

Пришли к обычному квадратному уравнению относительно `t`. Нам нужно добиться, чтобы его решения были на отрезке `[1,∞)`. Для того, чтобы понять, когда выполнится это условие, обратимся к графику нашей функции.

При `a=3` выражение приводит нас к неверному равенству. Если же `a≠3`, то графиком будет парабола.

Обратим внимание, что направление ветвей (вверх или вниз), зависит от параметра `a`.

Исследуем нашу функцию дальше. По формуле для вершины параболы найдем вершину `t=1`. Заметим, что ее абсцисса не зависит от параметра `a`.

Поскольку нам нужно решение на интервале `[1,∞)`, очевидно, что графически это будет выглядеть как пересечение правой ветки параболы с осью абсцисс, или как касание параболы оси абсцисс в точке `t=1`.

Предлагаю разобраться самостоятельно с помощью графика:

 

Параметр `a= `

(кнопки двигают вершину параболы)

Если ветви направлены вверх, то чтобы парабола пересекла ось x или коснулась ее, необходимо, чтобы значение функции в точке `1` было отрицательно или равно нулю:

$$\left\{\begin{array}{l}a-3>0, \\ f(1) \leqslant 0.\end{array} \right.$$

Действительно, если значение функции при `t=1` отрицательно, то так как ветви направлены вверх, мы можем быть уверены. что парабола рано или поздно пересечет ось абсцисс правее этой точки.

 Аналогично для ветвей вниз:

$$\left\{\begin{array}{l}a-3<0, \\ f(1) \geqslant 0.\end{array} \right.$$

В итоге получим следующую систему неравенств для `a`:

$$\left[ \begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a>3, \\ a \geqslant 4;\end{array} \right. \\ \left\{\begin{array}{l}a<3, \\ a \leqslant 4.\end{array} \right.\end{array} \right.$$

Отсюда виден ответ: `a\in (-∞,3)\cup [4,∞)`.

 

Спасибо за интерес к урокам по математике. Постоянные тренировки ума обязательно принесут пользу в дальнейшей жизни :)

Ставьте лайки, если решение было понятным и понравилось, и оставляйте свои вопросы в комментариях.

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 7000

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить