Как решать С3. Урок 5. ЕГЭ по математике 2014. Логарифмические неравенства с переменным основанием

Решение простейших логарифмических неравенств и неравенств, где основание логарифма фиксировано, мы рассматривали в прошлом уроке.

А что делать, если в основании логарифма стоит переменная?

Тогда нам на помощь придет рационализация неравенств. Чтобы понять, как это работает, давайте рассмотрим, например, неравенство:

Как положено, начнем с ОДЗ.

ОДЗ

Решение неравенства

Давайте рассуждать, как если бы мы решали неравенство с фиксированным основанием. Если основание больше единицы, избавляемся от логарифмов, и знак неравенства не меняется, если меньше единицы — меняется.

Запишем это в виде системы:

Для дальнейших рассуждений перенесем все правые части неравенств влево.

Что у нас получилось? Получилось, что нам нужно, чтобы выражения `2x-1` и `x^2 - x` были одновременно либо положительными, либо отрицательными. Такой же результат получится, если мы решим неравенство:

Это неравенство так же как и исходная система верно, если оба множителя либо положительны, либо отрицательны. Получается можно от логарифмического неравенства перейти к рациональному (учтя при этом ОДЗ).

Сформулируем метод рационализации логарифмических неравенств

$$\log_{f(x)} g(x) \vee \log_{f(x)} h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \vee 0,$$ где `\vee` — это любой знак неравенства. (Для знака `>` мы только что проверили справедливость формулы. Для остальных предлагаю проверить самостоятельно — так запомнится лучше).

Вернемся к решению нашего неравенства. Разложив на скобки (чтобы было лучше видно нули функции), получим

Метод интервалов даст следующую картину:

(Поскольку неравенство строгое и концы интервалов нас не интересуют, они не закрашены.) Как видно, полученные интервалы удовлетворяют ОДЗ. Получили ответ: `(0,\frac{1}{2}) \cup (1,∞)`.

Пример второй. Решение логарифмического неравенства с переменным основанием

ОДЗ

Решение неравенства

По только что полученному нами правилу рационализации логарифмических неравенств, получим, что данное неравенство тождественно (с учетом ОДЗ) следующему:

Совместив это решение с ОДЗ, получим ответ: `(1,2)`.

Третий пример. Логарифм от дроби

Дробь нам добавила чуть больше сложности в нахождении ОДЗ и не более того. `-1` нужно представить как логарифм с основанием `x`.

ОДЗ

Поскольку система относительно сложная, давайте сразу нанесем решение неравенств на числовую ось:

Таки образом, ОДЗ: `(0,1)\cup \left(1,\frac{6}{5}\right)`.

Решение неравенства

Представим `-1` в виде логарифма с основанием `x`.

С помощью рационализации логарифмического неравенства получим рациональное неравенство:

Совместив решение с ОДЗ, получим ответ: `\left[\frac{1}{2},1\right)`.

Четвертый пример. Решение логарифмического неравенства

ОДЗ

Решение неравенства

Совместив с ОДЗ, получим ответ: `(-2,-1)\cup(-1,0)\cup (0,1)\cup (2,∞)`.

Задания для тренировки

Решите неравенства:

• `\log_{x^{-2}}(x+2) > -1`,
• `\log_{\frac{16}{25-x^2}} \left(\dfrac{14}{24 - 2x -x^2} \right)>1`,
• `\log_5 \sqrt{3x+4} - \log_x 5 >1` (на закуску :).

На этом все. Все вопросы в комментарии, и обязательно оставляйте лайки, чтобы ресурс развивался и дальше!