(383) 375-08-85

  • Уроки ЕГЭ
  • Как решать С3
  • Как решать С3. Урок 5. ЕГЭ по математике 2014. Логарифмические неравенства с переменным основанием
14
Август
2013

Как решать С3. Урок 5. ЕГЭ по математике 2014. Логарифмические неравенства с переменным основанием

Решение логарифмических неравенств с переменным основанием. Рационализация неравенств с объяснением и примерами

Решение простейших логарифмических неравенств и неравенств, где основание логарифма фиксировано, мы рассматривали в прошлом уроке.

А что делать, если в основании логарифма стоит переменная?

Тогда нам на помощь придет рационализация неравенств. Чтобы понять, как это работает, давайте рассмотрим, например, неравенство:

$$\log_{2x} x^2 > \log_{2x} x.$$

Как положено, начнем с ОДЗ.

ОДЗ

$$\left[ \begin{array}{l}x>0,\\ 2x ≠ 1. \end{array}\right.$$

Решение неравенства

Давайте рассуждать, как если бы мы решали неравенство с фиксированным основанием. Если основание больше единицы, избавляемся от логарифмов, и знак неравенства не меняется, если меньше единицы — меняется.

Запишем это в виде системы:

$$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}2x>1,\\ x^2 > x; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{l}2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Для дальнейших рассуждений перенесем все правые части неравенств влево.

$$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{l}2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Что у нас получилось? Получилось, что нам нужно, чтобы выражения `2x-1` и `x^2 - x` были одновременно либо положительными, либо отрицательными. Такой же результат получится, если мы решим неравенство:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

Это неравенство так же как и исходная система верно, если оба множителя либо положительны, либо отрицательны. Получается можно от логарифмического неравенства перейти к рациональному (учтя при этом ОДЗ).

Сформулируем метод рационализации логарифмических неравенств
$$\log_{f(x)} g(x) \vee \log_{f(x)} h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \vee 0,$$ где `\vee` — это любой знак неравенства. (Для знака `>` мы только что проверили справедливость формулы. Для остальных предлагаю проверить самостоятельно — так запомнится лучше).

Вернемся к решению нашего неравенства. Разложив на скобки (чтобы было лучше видно нули функции), получим

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

Метод интервалов даст следующую картину:

Решение логарифмического неравенства с помощью рационализации

(Поскольку неравенство строгое и концы интервалов нас не интересуют, они не закрашены.) Как видно, полученные интервалы удовлетворяют ОДЗ. Получили ответ: `(0,\frac{1}{2}) \cup (1,∞)`.

Пример второй. Решение логарифмического неравенства с переменным основанием

$$\log_{2-x} 3 \leqslant \log_{2-x} x.$$

ОДЗ

 $$\left\{\begin{array}{l}2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1, \\ x > 0. \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}x < 2,\\ x ≠ 1, \\ x > 0. \end{array}\right.$$

Решение неравенства

По только что полученному нами правилу рационализации логарифмических неравенств, получим, что данное неравенство тождественно (с учетом ОДЗ) следующему:

$$(2-x -1 ) (3-x) \leqslant 0.$$
$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$
Решение логарифмического неравенства с переменным основанием

Совместив это решение с ОДЗ, получим ответ: `(1,2)`.

Третий пример. Логарифм от дроби

$$\log_x\frac{4x+5}{6-5x} \leqslant -1.$$

Дробь нам добавила чуть больше сложности в нахождении ОДЗ и не более того. `-1` нужно представить как логарифм с основанием `x`.

ОДЗ

$$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{4x+5}{6-5x}>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end{array} \right.$$

Поскольку система относительно сложная, давайте сразу нанесем решение неравенств на числовую ось:

ОДЗ неравенства, логарифм с дробью

Таки образом, ОДЗ: `(0,1)\cup \left(1,\frac{6}{5}\right)`.

Решение неравенства

Представим `-1` в виде логарифма с основанием `x`.

$$\log_x\frac{4x+5}{6-5x} \leqslant \log_x x^{-1}.$$

С помощью рационализации логарифмического неравенства получим рациональное неравенство:

$$(x-1)\left(\frac{4x+5}{6-5x} -\frac{1}{x}\right)\leqslant0,$$
$$(x-1)\left(\frac{4x^2+5x - 6+5x}{x(6-5x)}\right)\leqslant0,$$
$$(x-1)\left(\frac{2x^2+5x - 3}{x(6-5x)}\right)\leqslant0.$$
Решение логарифмического неравенства с дробью

Совместив решение с ОДЗ, получим ответ: `\left[\frac{1}{2},1\right)`.

Четвертый пример. Решение логарифмического неравенства

$$\log_{x^2} (x+2) < 1.$$

ОДЗ

$$\left\{\begin{array}{l} x≠ ±1,\\ x≠0, \\ x>-2. \end{array}\right.$$

Решение неравенства

$$\log_{x^2} (x+2) < \log_{x^2} x^2,$$
$$(x^2-1) (x+2 - x^2) <0,$$
$$(x^2 -1) ( x^2 -x -2) >0,$$
$$(x-1)(x+1) ( x-2)(x+1)>0,$$
Решение логарифмического неравенства на числовой оси

Совместив с ОДЗ, получим ответ: `(-2,-1)\cup(-1,0)\cup (0,1)\cup (2,∞)`.

Задания для тренировки

Решите неравенства:

  • `\log_{x^{-2}}(x+2) > -1`,
  • `\log_{\frac{16}{25-x^2}} \left(\dfrac{14}{24 - 2x -x^2} \right)>1`,
  • `\log_5 \sqrt{3x+4} - \log_x 5 >1` (на закуску :).

На этом все. Все вопросы в комментарии, и обязательно оставляйте лайки, чтобы ресурс развивался и дальше!

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 52681

  • Нравится
  • Комментарии   

    # Nika 04.05.2014 10:32
    Спасибо. Мне нравиться. Доступно,логичн о,понятно
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать

    Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить