Как решать С3. Урок 4. ЕГЭ по математике 2014. Простейшие логарифмические неравенства
Решение простейших логарифмических неравенств с подробным объяснением и примерами
Постепенное изучение неравенств, наконец, привело нас к логарифмам.
Сейчас мы научимся решать простейшие логарифмические неравенства. Их решение очень сильно похоже с показательными неравенствами (см. урок 3) (потому что логарифм — обратная функция к показательной).
На что мы обращали в показательных неравенствах? На основание степени. Основание логарифма будет точно так же влиять на решение логарифмического неравенства.
Пусть перед нами неравенство `\log_a x > \log_a b`.
Первое, с чего стоит начать — это ОДЗ логарифма. Основание логарифма больше нуля, и не равно единице, аргумент — больше нуля. Это нужно учитывать, в разборе реальных примеров мы к этому вернемся. Допустим, что мы нашли ОДЗ. Что делать дальше?
Попробуем найти решение с помощью графика. Если `a>1`, то картина будет следующая:

Мы взяли произвольную точку `b`. Таким образом, чтобы значение функции было больше (на графике — выше), нужно, чтобы `x` был больше (правее) `b`. То есть к ответ на наше неравенство будет `x > b`. Если знак `>` мы заменим на любой другой знак неравенства, то ситуация не поменяется.
Рассмотрим теперь случай, когда `a<1`.
Функция убывающая, значит, чем больше `x`, тем меньше значение функции. Значит, чтобы значение функции было больше (выше), чем значение в точке `b`, нужно, чтобы выполнялось неравенство `x<b`.
То есть знак неравенства развернулся в обратную сторону. Аналогичная ситуация будет для любого другого знака неравенства.
Теперь перейдем к примерам.
Пример первый. Решение простого логарифмического неравенства
ОДЗ
С помощью метода интервалов (урок 1) получим такую картину:

ОДЗ получено
Решение неравенства
Для начала нужно представить `-1` как логарифм с основанием `0.5`. По определению логарифма получим `-1= \log_{0.5} {0.5}^{-1}`.
Основание логарифма меньше единицы, значит, перейдя к сравнению аргументов логарифмов, нужно поменять знаки.
С помощью метода интервалов (урок 1) получим такую картину:

Концы интервала нас не интересуют, поскольку неравенство строгое.
Совместив с ОДЗ, получим: `x\in (1,2) \cup (3,4)`.
Пример второй. Решение логарифмического неравенства методом замены
ОДЗ
`x>-4`.
Решение неравенства
Очевидно, нужна замена `t = \log_2(x+4)`.

Выполним обратную замену.
Поскольку основание логарифма больше единицы, то знаки неравенства менять не нужно, можно просто избавиться от логарифмов и сравнить аргументы.
Это двойное неравенство полностью удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, ответ получен.
Третий пример. Решение логарифмического неравенства, приведение к простейшему виду
Основания логарифмов одинаковые (повезло). Воспользуемся последовательно несколькими свойствами логарифмов, чтобы привести это неравенство к простейшему виду.
Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства менять не нужно:
Метод интервалов рулит:

Ответ: `x\in (2, ∞)\setminus {3}`.
На этом все.
Задания для тренировки
Решите неравенства:
- `\log_11(3x-1)>1`,
- `\log_8(x^2+4x+3)\leqslant 1`,
- `\log_{0.1}(x^2 - x -2) > \log_{0.1}(3-x)`,
- `2\log_2 x -\log_2(2x-2)>1`,
- `\dfrac{\lg^2x - 3\lg x +3}{\lg x - 1} \leqslant 1`.
Теперь совсем все. Смотрите видео. Возможно, так будет удобнее / понятнее. Не жалейте лайков. Все вопросы, пожелания по уроку пишите в комментариях.
- Теги: видео, логарифмическое неравенство, теория, уроки ЕГЭ
- Рубрики: Уроки ЕГЭ, Как решать C3
Добавить комментарий