(383) 375-08-85

13
Август
2013

Как решать С3. Урок 4. ЕГЭ по математике 2014. Простейшие логарифмические неравенства

Решение простейших логарифмических неравенств с подробным объяснением и примерами

Постепенное изучение неравенств, наконец, привело нас к логарифмам.

Сейчас мы научимся решать простейшие логарифмические неравенства. Их решение очень сильно похоже с показательными неравенствами (см. урок 3) (потому что логарифм — обратная функция к показательной).

На что мы обращали в показательных неравенствах? На основание степени. Основание логарифма будет точно так же влиять на решение логарифмического неравенства.

Пусть перед нами неравенство `\log_a x > \log_a b`.

Первое, с чего стоит начать — это ОДЗ логарифма. Основание логарифма больше нуля, и не равно единице, аргумент — больше нуля. Это нужно учитывать, в разборе реальных примеров мы к этому вернемся. Допустим, что мы нашли ОДЗ. Что делать дальше?

Попробуем найти решение с помощью графика. Если `a>1`, то картина будет следующая:

Решение логарифмического неравенства. a>0

Мы взяли произвольную точку `b`. Таким образом, чтобы значение функции было больше (на графике — выше), нужно, чтобы `x` был больше (правее) `b`. То есть к ответ на наше неравенство будет `x > b`. Если знак `>` мы заменим на любой другой знак неравенства, то ситуация не поменяется.

Рассмотрим теперь случай, когда `a<1`.

Решение простейшего логарифмического неравенства. Основание меньше единицы

Функция убывающая, значит, чем больше `x`, тем меньше значение функции. Значит, чтобы значение функции было больше (выше), чем значение в точке `b`, нужно, чтобы выполнялось неравенство `x<b`.

То есть знак неравенства развернулся в обратную сторону. Аналогичная ситуация будет для любого другого знака неравенства.

Теперь перейдем к примерам.

Пример первый. Решение простого логарифмического неравенства

$$\log_{0.5} (x^2 - 5x+ 6) > -1.$$

ОДЗ

$$x^2 - 5x+ 6 > 0,$$
$$(x-3)(x-2) > 0,$$

С помощью метода интервалов (урок 1) получим такую картину:

Решение ОДЗ логарифма, метод интервалов

ОДЗ получено

Решение неравенства

Для начала нужно представить `-1` как логарифм с основанием `0.5`. По определению логарифма получим `-1= \log_{0.5} {0.5}^{-1}`.

$$\log_{0.5} (x^2 - 5x+ 6) > \log_{0.5} {0.5}^{-1}.$$

Основание логарифма меньше единицы, значит, перейдя к сравнению аргументов логарифмов, нужно поменять знаки.

$$x^2 - 5x+ 6 < {0.5}^{-1},$$
$$x^2 - 5x+ 6 < 2,$$
$$x^2 - 5x+ 4 < 0,$$
$$x^2 - 5x+ 4 < 0,$$
$$(x-4)(x-1)< 0.$$

С помощью метода интервалов (урок 1) получим такую картину:

Решение логарифмического неравенства методом интервалов

Концы интервала нас не интересуют, поскольку неравенство строгое.

Совместив с ОДЗ, получим: `x\in (1,2) \cup (3,4)`.

Пример второй. Решение логарифмического неравенства методом замены

$$\log_2^2(x+4)- 5 \log_2(x+4)+6 \leqslant 0.$$

ОДЗ

`x>-4`.

Решение неравенства

Очевидно, нужна замена `t = \log_2(x+4)`.

$$t^2  - 5t + 6\leqslant 0, $$
$$(t - 2)(t-3)\leqslant 0, $$
Решение логарифмического неравенства методом замены переменной

Выполним обратную замену.

$$2\leqslant \log_2(x+4) \leqslant 3,$$
$$\log_2 2^2\leqslant \log_2(x+4) \leqslant  \log_2 2^3.$$

Поскольку основание логарифма больше единицы, то знаки неравенства менять не нужно, можно просто избавиться от логарифмов и сравнить аргументы.

$$4\leqslant x+4 \leqslant  8,$$
$$0\leqslant x \leqslant  4.$$

Это двойное неравенство полностью удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, ответ получен.

Третий пример. Решение логарифмического неравенства, приведение к простейшему виду

$$2\log_2 (x-1) - \log_2(2x-4) >1.$$

Основания логарифмов одинаковые (повезло). Воспользуемся последовательно несколькими свойствами логарифмов, чтобы привести это неравенство к простейшему виду.

$$\log_2 (x-1)^2 - \log_2(2x-4) >1,$$
$$\log_2 \frac{(x-1)^2 }{2x-4} >1,$$
$$\log_2 \frac{(x-1)^2 }{2x-4} >\log_2 2.$$

Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства менять не нужно:

$$\frac{(x-1)^2 }{2x-4} >2,$$
$$\frac{x^2 -2x +1  - 4x + 8}{2x-4} >0,$$
$$\frac{x^2 -6x +9}{2x-4} >0,$$
$$\frac{(x-3)^2}{2x-4} >0.$$

Метод интервалов рулит:

Решение логарифмического неравенства через приведение к простейшему виду

Ответ: `x\in (2, ∞)\setminus {3}`.

На этом все.

 

Задания для тренировки

Решите неравенства:

  • `\log_11(3x-1)>1`,
  • `\log_8(x^2+4x+3)\leqslant 1`,
  • `\log_{0.1}(x^2 - x -2) > \log_{0.1}(3-x)`,
  • `2\log_2 x -\log_2(2x-2)>1`,
  • `\dfrac{\lg^2x - 3\lg x +3}{\lg x - 1} \leqslant 1`.

Теперь совсем все. Смотрите видео. Возможно, так будет удобнее / понятнее. Не жалейте лайков. Все вопросы, пожелания по уроку пишите в комментариях.

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 23193

  • Нравится

    • Это будет вам интересно:

    Добавить комментарий

    Защитный код
    Обновить