Продолжаем серию задач с параметром, где нужно найти условия для единственности решения системы уравнений. Как и в предыдущих записях, будем использовать инвариантность. Для этого обратим внимание, что если поменять `x` и `y` местами, то уравнения останутся точно такими же, как и исходно данные.

Единственное, чем усложняется данная задача - двумя параметрами. Но решить такую систему уравнений не так уж и тяжело, как может показаться вначале.

Что будет дальше - смотрим в видео.

Найдите все пары значений `a` и `b`, при каждой из которых имеет единственное решение система

\begin{cases}xyz+z=a,\\xyz^2 +z =b,\\x^2 + y^2 +z^2 =4.\end{cases}

Для того, чтобы решить часть С в ЕГЭ по математике, нужно обладать некоторой наблюдательностью. Конечно, это решение дается легче, когда наблюдательность натренирована.

Например, в этом задании, нужно заметить, что очень похоже на то, когда нам нужно искать единственное решение. Сходно здесь то, что нужно учесть: и первое и второе уравнение системы по `x` "симметрично" или иными словами инвариантно относительно нуля. Значит, для любого положительного решения по `x` всегда найдется второй отрицательный "двойник". Отсюда получим, что решений всегда будет четное число, кроме одного случая, когда `x=0`.

Итак, задание.

Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых имеет ровно три решения система уравнений

\begin{cases}y+a=|x|+5,\\x^2+(y-2a+5)^2=4.\end{cases}

Полное решение вы можете найти в видео ниже.

Представляю видеоурок с еще одним заданием С5 из ЕГЭ по математике.

Вновь нас просят найти, когда решение системы уравнений будет единственным. И здесь два пути: либо проверять на инвариантность, либо строить графики. Внимательно посмотрев на систему уравнений, увидим, что оба графика - окружности, координаты центра которых зависят от `a`, а радиусы фиксированы. Значит, построить эти фигуры не составит труда.

Итак, задание:

Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений

\begin{cases}(x-2a-5)^2 + (y-3a+5)^2=16,\\(x-a-2)^2+(y-2a+1)^2=81.\end{cases}

Большая с виду задача С5 после несложных замечаний приобретает простое решение.Здесь нам придется воспользоваться инвариантностью - неизменностью уравнений (или систем уравнений) при преобразовании переменных.
Данным свойством полезно пользоваться, если мы имеем дело с задачей на поиск единственного решения. Часто такая задача инвариантна относительно некоторой замены и для того, чтобы добиться единственности решения, нам нужно добиться "нечувствительности" к подобной замене.

Найдите все значений параметра a, при которых имеет единственное решение система уравнений

\begin{cases}z \cos (x-y)+ (2+xy) \sin (x+y)=z,\\ x^2 +(y-1)^2+z^2 = a+2x, \\(x+y+a \sin^2 z) ((1-a)\ln (1-xy)+1)=0. \end{cases}

Этот видеоразбор задачи с параметром включают в себя умение исследовать функции и анализировать полученные данные с разных точек зрения. В задании нам пригодятся знания такого свойства функции, как четность, понимание возрастания/ убывания, и его связь с производной. Нужно будет так же понять, как свойства отразятся на графической интерпретации задания. Вот, кстати и оно:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений

\begin{cases}3\cdot 2^{|x|}+5|x| + 4 = 3 y +5x^2+ 3a,\\ x^2 + y^2 = 1\end{cases}

Упражнение легко решается графически, если перенести `a^2 - 4a` в правую часть и представить, как будет выглядеть пересечение графиков правой и левой частей уравнения.

В видеоразборе этого задания нам предстоит найти те значения параметра a при которых максимум модуля разностей корней уравнения `x^2 - 6x - 12 + a^2 - 4a =0` принимает наибольшее значение.

Упражнение легко решается графически, если перенести `a^2 - 4a` в правую часть и представить, как будет выглядеть пересечение графиков правой и левой частей уравнения.

А почему бы не сложить неравенства из следующей системы?

\begin{cases} \log_7^2(x^2+4x - 20) \leqslant x-3,\\\log_7^2(x^2+2x - 14) \leqslant 3-x. \end{cases}

Тогда у нас появятся "кандидаты" для решения. Останется их подставить и проверить выполнения неравенств. Подробнее в видеоуроке.

Видеоурок по следующей системе неравенств:

\begin{cases} \log_7 (x^2 - 9 )\leqslant 1,\\ \frac{2x^2+x-28}{6^{x-6}+5^{x-5}-4} \leqslant 0. \end{cases}

Первое неравенство решается просто в лоб. А про второе я подскажу: при тех `x`, которые являются решениями первого неравенства, знаменатель во втором всегда будет меньше нуля. Итого у нас остается квадратное выражение, которое решается методом интервалов.

Логарифмы в этом видеоуроке дейтсвительно ничем не связаны между собой - их основания и аргументы слишком различны, при кажущемся вначале сходстве.

`\log_{2-x} (x+2) \cdot \log _{x+3} (3-x) \leqslant 0.`

Как решать такое? Можно, конечно, разбить на совокупность неравенств и решать 4 почти одинаковых задачи. Мы же воспользуемся рационализацией неравенств и ответ получится сам собой :)

Здесь перед нами только одно неравенство, но переменная и в основании логарифма и в аргументе:

`\log ^2_{x+2} (x-18)^2 + 32 \leqslant 16 \log_{x+2} (36+16x -x^2)`

Внимательнее рассмотрев аргумент второго логарифма, увидим, что он раскладывается на скобки `(x+2) (18-x)`. В видео мы воспользуемся свойствами логарифма и не забудем про ОДЗ, и решение готово!

Здесь вас ждет решение системы неравенств:

\begin{cases} 4 \log_9 (x+4{,}5) - 1  \geqslant 3^{4x^2 - 9}, \\ 3-4 \log_9 (x+4{,}5) \geqslant 3^{9-4x^2}. \end{cases}

Оба неравенства содержат как логарифм так и показательную функцию. Это не очень хорошо. Но в то же время логарифмы совершенно одинаковы, а показательные функции отличаются только знаками в показателе. Что если эти неравенства сложить?

Видео с решением системы неравенств:

\begin{cases} 4^{x+1} - 17\cdot 2^x +4 \leqslant 0; \\ \log^2_{|x|} (x^2) +\log_2 (x^2) \leqslant 6. \end{cases}

Что мы видим в данном примере? Первое неравенство легко приводится к степеням с основанием 2 и в дальнейшем решается как обычное квадратное неравенство. С логарифмом на первый взгляд интереснее.

Хотя нет :) первый логарифм - это просто двойка, возведенная в квадрат. Так что во втором неравенстве у нас остается только один логарифм. Ну а решить такое неравенство не составляет труда. Главное - в ОДЗ не запутаться.