Как решать С3. Урок 3. ЕГЭ по математике 2014. Показательные неравенства

Третий урок про то, как решать задание С3 из ЕГЭ по математике. Давайте разберем, как решать показательные неравенства.

Начнем с основ: разберем, например, как решать неравенство `a^x > a^b`, где `a` и `b` — фиксированные числа, а `x` — переменная.

В общем виде решение такого неравенства будет следующим.

Теоретическая часть, как решать простейшее показательное неравенство

Если `a>1`, то решение — `x > b`, если `0<a<1`, то решение — `x<b`. Эту фразу можно оформить в виде системы неравенств:

Чтобы лучше запомнить эту, казалось бы, сложную систему, давайте поймем, откуда она взялась. (Если это вам не очень интересно, то можете пропустить и сразу перейти к решениям неравенств ЕГЭ)

Посмотрим, как ведет себя функция `f(x) = a^x`. В случае, если `a>1`, то в чем большую степень мы его возводим, тем большее число получаем (попробуйте возвести `2` в степени `1, 2, 3, \ldots`). Если `0<a<1`, то чем больше показатель степени — тем меньше будет результат (попробуйте так же возвести `\frac{1}{2}` в несколько разных степеней).

На графике функции при `a>1` это будет выглядеть так:

 

Видно, что чтобы значение `a^x` было больше (лежало выше), чем `a^b`, нужно взять `x` правее, чем `b`. Красным показано решение неравенства.

При `a<1` получаем такую картину:

Аналогично: чтобы значение `a^x` было больше (лежало выше), чем `a^b`, нужно взять `x` левее, чем `b`. Красным показано решение неравенства.

Таким образом, наша задача при решении показательных неравенств — привести их к виду простейших показательных неравенств и представить левую и правую часть в виде степеней с одинаковым основанием.

Закончим на этом о простейших показательных неравенствах.

Решение показательных неравенств. Метод замены переменной

Основной способ решения неравенств ЕГЭ, которые содержат показательную функцию, — замена этой функции на новую переменную.

Разберем такой пример:

Выполним замену `4^x= t`.

Используя свойства степеней, получим:

Такое неравенство мы решали в первом уроке про метод интервалов. Разложив на скобки, получим:

На оси решение отмечено красным, концы отрезка также удовлетворяют неравенству. Вернемся к замене:

Представим `1` и `4` в виде степеней с основанием `4`:

Ответ получен. Двигаемся дальше.

Второй пример. Решение показательного неравенства, степени с разными основаниями

Для начала нужно разобраться, что мы будем заменять на `t`. Для этого приведем все степени с разными основаниями к одинаковым.

Заметим, что `9=3^2,  12 = 3·4,  16 = 4^2`. Расписав эти числа таким образом, получим:

Левая часть неравенства очень похожа на однородное тригонометрическое выражение второй степени. Только вместо синусов и косинусов у нас `3^x` и `4^x`. Давайте поступим по аналогии с тригонометрией: поделим на `4^x` (слава богу, любая показательная функция, всегда строго больше нуля).

Замена `t= \dfrac{3^x}{4^x}`.

Отсюда получим `t_1 = \frac{9}{16},  t_2 = \frac{3}{4}`.

Получили решение `\frac{9}{16} \leqslant t \leqslant \frac{3}{4}`. Обратная замена.

Поскольку основание степени меньше единицы, то избавившись от него, перевернем знаки неравенств:

Приведем к привычному виду.

Ответ получен. Разберем последнее неравенство в этом уроке.

Третий пример. Решение показательного неравенства

Все степени в этом неравенстве с основанием `2`. Две из них уже имеют удобны для замены на `t` вид `2^x`. Представим `2^{1-x} = 2 · \frac{1}{2^x}`. И выполним замену `2^x = t`.

Приведем все слагаемые в числителе к общему знаменателю.

Отрицательным `t` быть не может, поскольку это показательная функция. Значит, нам остается только два интервала: `(0,1) \cup [2,∞)`. Выполним обратную замену.

Ответ получен.

Задания для тренировки

Решите неравенства:

• `5^{x^2+6x+8}>1`,
• `2^{x+1}+2^{-x}-3\leqslant 0`,
• `5^{2x+1}+6^{x+1}>30+15^x·10^x`,
• `\dfrac{2·81^x +3^x - 87}{81^x - 3} \geqslant 2.`

На этом все. Если объяснение понятное, то ставьте лайки, а если остались вопросы, оставляйте их в комментариях.

Как обычно, видео с этим материалом прилагается.