(383) 375-08-85

12
Август
2013

Как решать С3. Урок 3. ЕГЭ по математике 2014. Показательные неравенства

Способы решения показательных неравенств в задачах С3 ЕГЭ с объяснениями и примерами

Третий урок про то, как решать задание С3 из ЕГЭ по математике. Давайте разберем, как решать показательные неравенства.

Начнем с основ: разберем, например, как решать неравенство `a^x > a^b`, где `a` и `b` — фиксированные числа, а `x` — переменная.

В общем виде решение такого неравенства будет следующим.

Теоретическая часть, как решать простейшее показательное неравенство

Если `a>1`, то решение — `x > b`, если `0<a<1`, то решение — `x<b`. Эту фразу можно оформить в виде системы неравенств:

$$\left[ \begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l} a>1,\\ x>b; \end{array} \right. \\ \left\{\begin{array}{l} a<1,\\x < b. \end{array} \right.\end{array}\right.$$

Чтобы лучше запомнить эту, казалось бы, сложную систему, давайте поймем, откуда она взялась. (Если это вам не очень интересно, то можете пропустить и сразу перейти к решениям неравенств ЕГЭ)

Посмотрим, как ведет себя функция `f(x) = a^x`. В случае, если `a>1`, то в чем большую степень мы его возводим, тем большее число получаем (попробуйте возвести `2` в степени `1, 2, 3, \ldots`). Если `0<a<1`, то чем больше показатель степени — тем меньше будет результат (попробуйте так же возвести `\frac{1}{2}` в несколько разных степеней).

На графике функции при `a>1` это будет выглядеть так:

 График показательной функции, a>1

Видно, что чтобы значение `a^x` было больше (лежало выше), чем `a^b`, нужно взять `x` правее, чем `b`. Красным показано решение неравенства.

При `a<1` получаем такую картину:

График показательного неравенства, a<1

Аналогично: чтобы значение `a^x` было больше (лежало выше), чем `a^b`, нужно взять `x` левее, чем `b`. Красным показано решение неравенства.

Таким образом, наша задача при решении показательных неравенств — привести их к виду простейших показательных неравенств и представить левую и правую часть в виде степеней с одинаковым основанием.

Закончим на этом о простейших показательных неравенствах.

Решение показательных неравенств. Метод замены переменной

Основной способ решения неравенств ЕГЭ, которые содержат показательную функцию, — замена этой функции на новую переменную.

Разберем такой пример:

$$4^{2x} - 5·4^x + 4 \geqslant 0.$$

Выполним замену `4^x= t`.

Используя свойства степеней, получим:

$$t^2 - 5t +4 \geqslant 0.$$

Такое неравенство мы решали в первом уроке про метод интервалов. Разложив на скобки, получим:

$$(t - 4)(t-1) \geqslant 0.$$
Решение показательного неравенства методом интервалов на оси

На оси решение отмечено красным, концы отрезка также удовлетворяют неравенству. Вернемся к замене:

 $$\left[\begin{array}{l}4^x \leqslant 1, \\ 4^x \geqslant 4; \end{array} \right.$$

Представим `1` и `4` в виде степеней с основанием `4`:

$$\left[\begin{array}{l}4^x \leqslant 4^0, \\ 4^x \geqslant 4^1; \end{array} \right.$$
$$\left[\begin{array}{l}x \leqslant  0, \\ x \geqslant 1; \end{array} \right.$$

Ответ получен. Двигаемся дальше.

Второй пример. Решение показательного неравенства, степени с разными основаниями

$$64·9^x - 84 · 12^x + 27·16^x \leqslant 0.$$

Для начала нужно разобраться, что мы будем заменять на `t`. Для этого приведем все степени с разными основаниями к одинаковым.

Заметим, что `9=3^2,  12 = 3·4,  16 = 4^2`. Расписав эти числа таким образом, получим:

$$64·3^{2x} - 84 · 3^x · 4^x + 27·4^{2x} \leqslant 0.$$

Левая часть неравенства очень похожа на однородное тригонометрическое выражение второй степени. Только вместо синусов и косинусов у нас `3^x` и `4^x`. Давайте поступим по аналогии с тригонометрией: поделим на `4^x` (слава богу, любая показательная функция, всегда строго больше нуля).

$$64· \frac{3^{2x}}{4^{2x}} - 84 · \frac{3^x}{4^x} + 27\leqslant 0.$$

Замена `t= \dfrac{3^x}{4^x}`.

$$64·t^2 - 84 · t + 27\leqslant 0.$$

Отсюда получим `t_1 = \frac{9}{16},  t_2 = \frac{3}{4}`.

Решение показательного неравенства на оси

Получили решение `\frac{9}{16} \leqslant t \leqslant \frac{3}{4}`. Обратная замена.

$$\frac{9}{16} \leqslant \left(\frac{3}{4}\right)^x \leqslant \frac{3}{4},$$
$$\left(\frac{3}{4}\right)^2 \leqslant \left(\frac{3}{4}\right)^x \leqslant \frac{3}{4}.$$

Поскольку основание степени меньше единицы, то избавившись от него, перевернем знаки неравенств:

$$2 \geqslant x \geqslant 1.$$

Приведем к привычному виду.

$$1 \leqslant x \leqslant 2.$$

Ответ получен. Разберем последнее неравенство в этом уроке.

Третий пример. Решение показательного неравенства

$$\frac{2^{1-x} - 2^x +1}{2^x -1 }\leqslant 0.$$

Все степени в этом неравенстве с основанием `2`. Две из них уже имеют удобны для замены на `t` вид `2^x`. Представим `2^{1-x} = 2 · \frac{1}{2^x}`. И выполним замену `2^x = t`.

$$\frac{2· \frac{1}{t} - t +1}{t-1 }\leqslant 0.$$

Приведем все слагаемые в числителе к общему знаменателю.

$$\left(\frac{2-t^2 +t }{t}\right) / (t-1)\leqslant 0,$$
$$\frac{-t^2 +t +2}{t·(t-1)}\leqslant 0,$$
$$\frac{-(t-2)(t+1)}{t·(t-1)}\leqslant 0,$$
Решение показательного неравенства на числовой оси

Отрицательным `t` быть не может, поскольку это показательная функция. Значит, нам остается только два интервала: `(0,1) \cup [2,∞)`. Выполним обратную замену.

$$\left[\begin{array}{l} 0<2^x <1, \\2^x>2;\end{array} \right.$$
$$\left[\begin{array}{l} x <0, \\  x>1;\end{array} \right.$$

Ответ получен.

Задания для тренировки

Решите неравенства:

  • `5^{x^2+6x+8}>1`,
  • `2^{x+1}+2^{-x}-3\leqslant 0`,
  • `5^{2x+1}+6^{x+1}>30+15^x·10^x`,
  • `\dfrac{2·81^x +3^x - 87}{81^x - 3} \geqslant 2.`

 

На этом все. Если объяснение понятное, то ставьте лайки, а если остались вопросы, оставляйте их в комментариях.

Как обычно, видео с этим материалом прилагается.

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 42065

  • Нравится
  • Комментарии   

    # Алёна 09.02.2014 12:27
    Я не смогла решить третье задание для тренировки, не могли бы вы разобрать его? Заранее спасибо.
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
    # Юрлов Илья 09.02.2014 22:47
    После небольших преобразований получаем
    5 · 5^{2x} + 6 · 6^{2x} - 5^{2x} · 6^x - 30 > 0
    Группируем первое и третье слагаемое, выносим 5^{2x}, так же второе и четвертое — выносим ­-6.

    Дальше дело техники )
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать

    Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить