(383) 375-08-85

15
Август
2013

Как решать С3. Урок 7. ЕГЭ по математике 2014. Иррациональные неравенства вида `f(x) ∨ \sqrt{g(x)}`

В прошлом уроке мы рассмотрели иррациональные неравенства вида `f(x)· \sqrt{g(x)} \vee 0`.

Тема этого урока — неравенства вида

$$f(x)\vee \sqrt{g(x)},$$

где `\vee` — любой знак неравенства. Работать с корнями крайне неудобно, поэтому наша задача — избавиться от них. Избавиться от корней можно, возведя в квадрат. Но всегда ли можно возводить в квадрат части неравенства?

Алгоритм решения иррационального неравенства `f(x) \vee \sqrt {g(x)}`

Знаки `\leqslant` и `<` мало различаются между собой, как и знаки `\geqslant` и `>`. Для простоты изложения мы разберем алгоритм решения неравенств на примере нестрогих знаков.

Случаи, же неравенств `\leqslant` и `\geqslant` различаться будут достаточно сильно. Мы их рассмотрим по отдельности.

Итак, вариант `f(x) \leqslant \sqrt{g(x)}`

Первое, что нам нужно — выписать ОДЗ корня `g(x) \geqslant 0`.

Затем было бы неплохо возвести в квадрат левую и правую части неравенства и сравнить их. Однако без предварительных размышлений этого делать не стоит.

Почему нельзя возводить в квадрат левую и правую части неравенства?
Приведу простой пример: неравенство `-5 \geqslant \sqrt{10}`, очевидно, неверное. Но если мы возведем левую и правую часть в квадрат, получим `25 \geqslant 10` — верное неравенство.
Почему это произошло?
Вспомните, для неравенств есть правило, что мы можем умножать его левую и правую части только на положительное число. Возведение в квадрат — операция, схожая с умножением. Тут мы левую часть умножили на `-5` — отрицательное число. А правую — на `\sqrt{10}` — положительное, поэтому возникли проблемы.

Нам нужна дополнительная проверка на отрицательность для части неравенства без корня — `f(x)`. Если `f(x) \geqslant 0`, то, поскольку обе части неравенства сто процентов не отрицательны, можно возводить в квадрат.

А если `f(x) <0`? В этом случае неравенство `f(x) \leqslant \sqrt{g(x)}` выполнено автоматически — левая часть отрицательна, правая — нет.

Систематизируем написанное:

ОДЗ (должно быть выполнено всегда): `g(x)\geqslant 0`.

Неравенство эквивалентно системе:

$$\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}  f(x) \geqslant 0, \\ f^2 (x) \leqslant g(x),\end{array} \right. \\ f(x)<0.\end{array} \right.$$

Случай `f(x) \geqslant \sqrt{g(x)}`

С ним будет попроще. Сперва проверим ОДЗ: `g(x) \geqslant 0`. Затем проверим, можно ли возводить в квадрат: `f(x) \geqslant 0` и сравним квадраты левой и правой части неравенства.

Вариант, когда `f(x) <0` на этот раз нам не интересен, поскольку при нем отрицательная левая часть всегда будет меньше положительной правой, что не удовлетворяет условию.

Обобщим:

ОДЗ (должно быть выполнено всегда): `g(x) \geqslant 0`.

Система неравенств:

$$\left\{\begin{array}{l}  f(x) \geqslant 0, \\ f^2 (x) \geqslant g(x).\end{array} \right.$$

Что изменится, если исходные неравенства строгие предлагаю исследовать самостоятельно.

На этом теория о том, как решать иррациональные неравенства закончена. Разберем несколько примеров.

Первый пример. Как решать иррациональное неравенство, `\sqrt{f(x)} \geqslant g(x)`

$$\sqrt{x-1}\geqslant 3-x.$$

ОДЗ `x\geqslant 1`.

Система неравенств:

$$\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}  3-x \geqslant 0, \\ x-1 \geqslant (3-x)^2,\end{array} \right. \\ 3-x<0.\end{array} \right.$$
$$\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}  x \leqslant 3, \\ x-1 \geqslant 9-6x+x^2,\end{array} \right. \\ x>3.\end{array} \right.$$

Второе неравенство системы легко приводится к виду `(x-5)(x-2) \leqslant 0`, откуда получаем решение `2\leqslant x \leqslant 5`. Учитывая, что при этом `x\leqslant 3`, получим `x\in [2,3]`.

Совместив с промежутком `x>3`, получим ответ: `[2,∞)`.

В прикрепленном видео есть короткая вставка, как решить это неравенство графически. Получается в разы быстрее и проще.

Второй пример. Как решать иррациональное неравенство, `\sqrt{f(x)} < g(x)`

$$2\sqrt{8-x} < 3x - 8.$$

Действуем по схеме.

ОДЗ: `x\leqslant 8`.

$$\left\{\begin{array}{l}  3x-8 \geqslant 0, \\ (3x-8)^2 > 4·(8-x).\end{array} \right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}  x \geqslant \frac{8}{3}, \\ 9x^2-48x+64> 32-4x.\end{array} \right.$$

Второе неравенство приводится к виду `9x^2-44x+32 >0`. Решив его получим `x\in(-∞,\frac{8}{9}) \cup (4,∞)`. Совместив с ОДЗ, получим решение: `4<x\leqslant 8`.

 

Задания для тренировки

Решите неравенство:

  • `0<x+\sqrt{x+2}`,
  • `\sqrt{x^2}+x-1<0`,
  • `\sqrt{4+4x+x^2}+x < 4`,
  • `3+x>3\sqrt{1-x^2}`.

 

На этом все. На данный момент это будет последний урок, как решать С3 из ЕГЭ по математике.

Жмите "мне нравится" и оставляйте вопросы в комментариях.

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 7782

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить