Как решать С3. Урок 7. ЕГЭ по математике 2014. Иррациональные неравенства вида `f(x) ∨ \sqrt{g(x)}`
В прошлом уроке мы рассмотрели иррациональные неравенства вида `f(x)· \sqrt{g(x)} \vee 0`.
Тема этого урока — неравенства вида
где `\vee` — любой знак неравенства. Работать с корнями крайне неудобно, поэтому наша задача — избавиться от них. Избавиться от корней можно, возведя в квадрат. Но всегда ли можно возводить в квадрат части неравенства?
Алгоритм решения иррационального неравенства `f(x) \vee \sqrt {g(x)}`
Знаки `\leqslant` и `<` мало различаются между собой, как и знаки `\geqslant` и `>`. Для простоты изложения мы разберем алгоритм решения неравенств на примере нестрогих знаков.
Случаи, же неравенств `\leqslant` и `\geqslant` различаться будут достаточно сильно. Мы их рассмотрим по отдельности.
Итак, вариант `f(x) \leqslant \sqrt{g(x)}`
Первое, что нам нужно — выписать ОДЗ корня `g(x) \geqslant 0`.
Затем было бы неплохо возвести в квадрат левую и правую части неравенства и сравнить их. Однако без предварительных размышлений этого делать не стоит.
- Почему нельзя возводить в квадрат левую и правую части неравенства?
- Приведу простой пример: неравенство `-5 \geqslant \sqrt{10}`, очевидно, неверное. Но если мы возведем левую и правую часть в квадрат, получим `25 \geqslant 10` — верное неравенство.
- Почему это произошло?
- Вспомните, для неравенств есть правило, что мы можем умножать его левую и правую части только на положительное число. Возведение в квадрат — операция, схожая с умножением. Тут мы левую часть умножили на `-5` — отрицательное число. А правую — на `\sqrt{10}` — положительное, поэтому возникли проблемы.
Нам нужна дополнительная проверка на отрицательность для части неравенства без корня — `f(x)`. Если `f(x) \geqslant 0`, то, поскольку обе части неравенства сто процентов не отрицательны, можно возводить в квадрат.
А если `f(x) <0`? В этом случае неравенство `f(x) \leqslant \sqrt{g(x)}` выполнено автоматически — левая часть отрицательна, правая — нет.
Систематизируем написанное:
ОДЗ (должно быть выполнено всегда): `g(x)\geqslant 0`.
Неравенство эквивалентно системе:
Случай `f(x) \geqslant \sqrt{g(x)}`
С ним будет попроще. Сперва проверим ОДЗ: `g(x) \geqslant 0`. Затем проверим, можно ли возводить в квадрат: `f(x) \geqslant 0` и сравним квадраты левой и правой части неравенства.
Вариант, когда `f(x) <0` на этот раз нам не интересен, поскольку при нем отрицательная левая часть всегда будет меньше положительной правой, что не удовлетворяет условию.
Обобщим:
ОДЗ (должно быть выполнено всегда): `g(x) \geqslant 0`.
Система неравенств:
Что изменится, если исходные неравенства строгие предлагаю исследовать самостоятельно.
На этом теория о том, как решать иррациональные неравенства закончена. Разберем несколько примеров.
Первый пример. Как решать иррациональное неравенство, `\sqrt{f(x)} \geqslant g(x)`
ОДЗ `x\geqslant 1`.
Система неравенств:
Второе неравенство системы легко приводится к виду `(x-5)(x-2) \leqslant 0`, откуда получаем решение `2\leqslant x \leqslant 5`. Учитывая, что при этом `x\leqslant 3`, получим `x\in [2,3]`.
Совместив с промежутком `x>3`, получим ответ: `[2,∞)`.
В прикрепленном видео есть короткая вставка, как решить это неравенство графически. Получается в разы быстрее и проще.
Второй пример. Как решать иррациональное неравенство, `\sqrt{f(x)} < g(x)`
Действуем по схеме.
ОДЗ: `x\leqslant 8`.
Второе неравенство приводится к виду `9x^2-44x+32 >0`. Решив его получим `x\in(-∞,\frac{8}{9}) \cup (4,∞)`. Совместив с ОДЗ, получим решение: `4<x\leqslant 8`.
Задания для тренировки
Решите неравенство:
- `0<x+\sqrt{x+2}`,
- `\sqrt{x^2}+x-1<0`,
- `\sqrt{4+4x+x^2}+x < 4`,
- `3+x>3\sqrt{1-x^2}`.
На этом все. На данный момент это будет последний урок, как решать С3 из ЕГЭ по математике.
Жмите "мне нравится" и оставляйте вопросы в комментариях.
- Теги: видео, иррациональное неравенство, теория, уроки ЕГЭ
- Рубрики: Уроки ЕГЭ, Как решать C3
Добавить комментарий