(383) 375-08-85

09
Август
2013

Как решать С3. Урок 1. ЕГЭ по математике 2014. Метод интервалов

Объяснение метода интервалов, решение простых неравенств.

Здравствуйте!

Задание С3 представляет собой систему неравенств (наверняка, вы об этом уже знаете). Но основа основ, с чего начинаются все неравенства, — метод интервалов. Без него ни одно задание решить будет практически невозможно. Поэтому, если решение неравенств этим методом вызывает у вас хоть малейшие затруднения, уделите ему особое внимание.

Методу интервалов будут посвящены два видеоурока с детальным пояснением.

Итак, приступим.

Предположим, надо решить неравенство

$$x^2 +3x +2 >0.$$

Напомню, в 8 классе все начиналось с того, что вы, скорее всего, строили график функции `f(x) = x^2+3x+2` и смотрели, где этот график находится выше оси абсцисс. График — парабола, которая пересекает ось `x` в точках `x_1 = -2` и `x_2 = -1`, ветви направлены вверх.

 Парабола — график для решения квадратного неравенства

Получили решение: `(-∞, -2) \cup (-1, ∞)`. (Точки `-2` и `-1` не пошли в ответ, потому что в них функция равна нулю. Нам же нужны значения строго больше нуля.)

Однако этот способ решения подходит не для всех уравнений — далеко не все графики функций мы можем построить.

Чтобы понять более универсальный метод интервалов, давайте внимательнее взглянем на нашу параболу и проследим, как меняются ее значения, когда она переходит через точки `x_1` и `x_2`. Слева направо: до того, как парабола прошла точку `x_1`, она была положительной, после нее стала отрицательной вплоть до точки `x_2`. Пройдя через `x_2`, она стала опять положительной.

Получается, что на каждом интервале `(-\infty, x_1),  (x_1, x_2),  (x_2, \infty)` функция имеет один и тот же знак.

Точки `x_1` и `x_2` — это нули функции то есть значения `x`, при которых функция равна нулю. Между ними она всегда имеет один и тот же знак (то есть положительна или отрицательн) и менять знак она может только проходя через ноль функции.

Сразу оговоримся: функция может менять знак, а может и не менять, и нам придется постоянно это проверять. Но самое главное, что кроме как в нулях функции, она знак сменить не может.

Это утверждение будет верно для любой непрерывной функции (то есть, грубо говоря, функции, график которой можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги).

Значит, нам достаточно понять, будет `f(x)` положительна или отрицательна в какой-нибудь конкретной точке внутри интервала, и мы сразу узнаем, какой она будет на всем интервале.

Например: чтобы узнать, какой будет знак функции на промежутке `(-\infty, x_1)`, мы можем подставить `x=-3` в `f(x)`. Получим:

$$(-3)^2 +3\cdot (-3)+2 = 9 - 9+2 =2 >0.$$

Значит, на интервале `(-\infty, x_1)` функция положительна.

Аналогично получим знак на интервале `(-2, -1)`, если подставим `x=-1{,}5`:

$$f(-1{,}5) = (-1.5)^2 + 3\cdot (-1.5) +2 = 2.25 - 4.5 +2 = -0.25 < 0.$$

На интервале `(-1, \infty)` возьмем `x=0`:

$$f(0) = (0)^2 + 3\cdot (0) +2 =2 > 0.$$

Итак, мы убедились, что способ работает. Но пока что он не выглядит легким — приходится подставлять неудобные числа, и проводить сложные вычисления.

У меня хорошая новость: от них можно избавиться :) Сделать это можно, если мы разложим многочлен на множители. В общем виде это тема отдельного урока. Для квадратных уравнений справедлива формула:

$$ax^2+ bx+ c = a (x-x_1) (x-x_2).$$

Советую ее выучить, она понадобится нам в дальнейшем.

Как ею пользоваться в методе интервалов?

Наше уравнение разложится таким образом: `x^2  +3x +2 = (x+2)(x+1)`. Теперь мы можем подставлять точки не в исходное уравнение, а в скобки. Причем даже не обязательно вычислять точное значение, достаточно понимать, какой знак примет каждая скобка. Теперь понятно, что например, в точки `x=-1.5` первая скобка будет положительна, а вторая — отрицательна, их произведение — отрицательно.

Примеры использования метода интервалов для решения рациональных неравенств

Решим неравенство посложнее

$$(2x+4) (x^2 -x -6) \geq 0.$$

Разложим вторую скобку на множители (можно делать это через дискриминант, можно через теорему Виета):

$$(2x+4) (x-3)(x+2)\geq 0.$$

Еще раз о том, как находить нули функции. Если при каком-то `x`, занулится хотя бы одна скобка, то при нем занулится и все выражение. Получим `x_1 = -2,  x_2 = 3,  x_3 = -2`. (Для внимательных: обратите внимание, как равенство `x_1` и `x_3` повлияет на знаки функции.)

Отметим эти точки на оси `x`.

Нули функции на оси x

Теперь выясним знаки скобок на каждом интервале. Я это оформлю в виде таблицы:

ИнтервалТочка`2x+4``x-3``x+2``f(x)`
`(-∞,-2)` `x=-100000`
`(-2,3)` `x=0` + ­– + ­–
`(3,∞)` `x=100000` ­+ ­+ + ­+

Колонка `f(x)` — это наша функция, знак которой получается как произведение знаков скобок. В качестве первой точки я взял заведомо большое число (чтобы наверняка увидеть знак каждой скобки), аналогично взята третья точка. Вторая точка взята из расчета, что она принадлежит интервалу `(-2, 3)`.

Расставим знаки на оси:

Решение неравенства на оси методом интервалов

Вернемся к заданию. Нам нужно выяснить, где функция неотрицательна. Из рисунка видно, что на промежутке `x> 3` она положительна. Точки `x=-2` и `x= 3` тоже пойдут в ответ, поскольку в них функция принимает нулевое значение.

Ответ: `\{2\} \cup [3,\infty)`.

Метод интервалов для неравенств с дробями

Пусть нам нужно решить неравенство `\frac{a}{b} > 0`.

Давайте подумаем, в каких случаях дробь `\frac{a}{b}` положительна? Она положительна, если `a` и `b` одновременно отрицательны или положительны. Но ведь неравенство с произведением `a·b>0` ведет себя точно так же: для его решения нам так же нужно, чтобы `a` и `b` были одного знака. Значит, при решении подобного неравенства с дробью, мы можем заменить его на неравенство `a · b > 0`.

Если знак неравенства `<`, то замена производится аналогично.

Более интересны случаи с неравенствами `\frac{a}{b}\geq 0` (или `\leq`). Равенство дроби нулю достигается только если числитель равен нулю. Произведение же равно нулю, если `a` или `b` равно нулю. В этом случае нам нужно учесть ОДЗ: знаменатель `b ≠ 0`.

Подведем итог:

$$\frac{a}{b} > 0 \Leftrightarrow a·b >0,$$
$$\frac{a}{b} \geq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a·b \geq 0, \\ b ≠ 0.\end{array} \right.$$

Теперь давайте потренируемся решать задачи.

Пример неравенства с дробью

Решение следующего неравенства проведем по алгоритму решения методом интервалов, без дополнительных пояснений.

$$\frac{2x-3}{3x-5}  \geq 0.$$
$$\left\{\begin{array}{l}(2x-3)(3x-5)  \geq 0, \\ 3x - 5 ≠ 0.\end{array} \right.$$

Решим первое неравенство системы. Нули функции: `x= \frac{3}{2},  x= \frac{5}{3}`.

Нули функции для решения методом интервалов

Расставим знаки, взяв некоторые значения `x` на каждом интервале, и подставив их в функцию.

Знаки на оси Х для метода интервалов

Из второго неравенства, получим `x≠ \frac{5}{3}`. Отметим это на рисунке.

Незакрашенная точка. ОДЗ метод интервалов.

Таким образом, ответ `(-∞, \frac{3}{2}] \cup (\frac{5}{3}, ∞)`.

 

Задания для тренировки

Решите неравенства

  • `(x-5)(3-x) < 0`,
  • `x^2 +7x +10 <0`,
  • `(x+2)(x^2 -5x +4) <0`,
  • `(x-5)(x^2 -8x +15) \leq 0`,
  • `\dfrac{2x^2-32}{x^2 +6x +8} \leq 0`.

Основа хорошей подготовки к ЕГЭ — это решение как можно большего количества задач. Решайте понемногу каждый день и тогда экзамен покажется вам смешным :)

 

На этом все. Первый урок будем считать законченным. В нем было много сказано о методе интервалов. Понимаю, за один раз понять такую тему сложно. Поэтому, если у вас остались вопросы, оставляйте их в комментариях.

Если вопросов не осталось — ставьте лайки :)

Во втором уроке вы сможете познакомиться с некоторыми неравенствами из тренировочных и диагностических ЕГЭ, которые решаются с помощью метода интервалов.

PS: На самом деле есть еще более удобный способ расставлять знаки на интервалах. О нем я немного упомянул в приложенном видео.

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 46762

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить