(383) 375-08-85

01
Август
2013

Как решать С1. Урок 1. ЕГЭ по математике 2014

Единичная окружность (тригонометирческий круг), точки на ней.

Здравствуйте, дорогие читатели.

Серия видео и уроков, посвященных решению задач части С ЕГЭ, была задумана давно. И, наконец, мы готовы представить вам полный комплект для того, чтобы подготовиться к решению задания С1.

Сразу оговоримся: задачи, хоть отдаленно похожие на те, что будут на реальном экзамене, появятся не раньше четвертого урока. Так что наберитесь терпения.

Итак, приступим. Единичная окружность и точки на ней.

Чтобы лучше понять эту тему, начнем издалека: представим, что перед нами стадион, по которому бегает спортсмен. Обозначим этого спортсмена буквой `t`. Пусть он бегает в направлении, как показывает стрелка.

окружность, спортсмен — точка t

Если длина беговой дорожки — 2 км, а человек хочет пробежать, например, 10 км, то ему нужно для этого сделать 5 кругов. Самое интересное в том, что через пять кругов человек окажется в той же точке, откуда начинал. Если немного поразмышлять на эту тему, то получается, что он окажется в этой же точке и через один круг и через двадцать. Выходит, точка одна и та же, а расстояние меняется в зависимости от того, сколько кругов пробежал человек.

Единичная окружность

Теперь пора перейти к тригонометрии. Давайте для удобства возьмем круг, радиус которого равен единице (какой-то абстрактной единице). Это и будет наша единичная окружность.

Какая будет при этом длина окружности? Из геометрии мы знаем, что длина вычисляется по формуле `l = 2\pi r`. Радиус мы взяли равным единице, получается `l = 2\pi \cdot 1 = 2\pi`.

Значит, если начнет свой путь и пройдет один круг, то пройденное расстояние `2\pi`. Если два круга — `4\pi`, и так далее. Наша точка может ходить и в обратную сторону, тогда к расстоянию мы добавим минус: `-2\pi, -4\pi,\dots`.

Рассмотрим, какое расстояние будет, если точка пройдет полкруга. Понятно, что если целый круг — это `2\pi`, то половина круга — это `\pi`. Если точка пройдет полтора круга, то есть круг и еще половину, то это будет `2\pi + \pi = 3\pi` и так далее.

Покажем это на рисунке:

 les C1 2

Заметим, что подпись для каждой точки круга тоже будет меняться в зависимости от того, сколько кругов мы пройдем. Перечислять, например, каждый раз `\dots, -\pi, \pi , 3\pi, 5\pi, \dots` неохота. Поэтому давайте договоримся, что запись, `\pi + 2\pi k` будет обозначать, что к расстоянию `\pi`, которое точка пройдет на первом круге, мы добавляем еще целый круг `2\pi`, умноженный на некоторое количество раз `k`. Важно понимать, что `k` у нас целое, записывается это так: `k\in \mathbb{Z}`. Этой записью мы и будем пользоваться в дальнейшем.

Теперь было бы неплохо отметить остальные важные точки на единичной окружности.

Точки со знаменателем 2

Давайте разделим тригонометрический круг на четыре равные части (ровно как она делится осями). Как будет называться точка в самом верху окружности? Это будет половина от половины круга. Если полкруга поделить пополам, получим `\frac{\pi}{2}` — четверть круга.

Если мы пройдем в положительном направлении еще четверть круга от точки `\dfrac{\pi}{2}`, то получается, что мы пройдем две четверти `\dfrac{2\pi}{2}` и попадем как раз в точку `\pi`.

Пройдем еще четверть и окажемся в нижней точке окружности — три четверти круга.

На будущее заметим, что нижняя точка так же может быть получена, если мы пойдем в отрицательном направлении на такое же расстояние, что и для верхней точки. Получится, что это точка `-\dfrac{\pi}{2}`.

Если мы пройдем от нижней точки еще одну четверть — четвертую, то мы окажемся в точке `\dfrac{4\pi}{2} = 2\pi`.

 les C1 3

Точки со знаменателем 4

Теперь разделим окружность на 8 частей. Думаю, объяснения о том, как подписаны точки, излишни. Если останутся вопросы, предлагаю задать их в комментариях.

Разбиение круга на 8 частей

Здесь можно представлять торт, который мы разрезали на 8 частей. Если весть торт — это `2\pi`, то каждый его кусок — это `\dfrac{\pi}{4}`.

Получилось, что одна из наших точек `\dfrac{2\pi}{4}` — это то же самое, что и `\dfrac{\pi}{2}`. В этом нет ошибки, так и должно было произойти. Умение найти такую точку (со знаменателем 4) может пригодиться в дальнейшем, когда мы будем отбирать корни. Но обо всем по порядку.

Точки со знаменателем 3

Теперь разделим тригонометрический круг на 6 частей и посмотрим, что получится. Размер каждой части теперь будет равен `2\pi : 6 = \dfrac{\pi}{3}`. Подпишем все полученные точки так же, как мы делали в предыдущих случаях.

Разделили круг на 6 частей.

И последнее, что нам пригодится — разделить каждую такую часть еще пополам. Всего будет 12 частей.

Точки со знаменателем 6

les C1 6

На что стоит обратить внимание и очень хорошо выучить: точки `\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}` находятся ближе к оси абсцисс, а точки `\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}` — ближе к оси ординат.

Задания для тренировки

Найдите на окружности точки:

  • `\pi, 2\pi, 9\pi, -5\pi, -21\pi`,
  • `\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2},  \frac{7\pi}{2}, - \frac{11\pi}{2}`,
  • `\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4},  \frac{15\pi}{4}, - \frac{21\pi}{4}, - \frac{151\pi}{4}`,
  • `\frac{2\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3},  \frac{16\pi}{3}, - \frac{22\pi}{3}`,
  • `\frac{5\pi}{6}, -\frac{23\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, - \frac{13\pi}{6}, - \frac{17\pi}{6}`.

PS: в прикрепленном видео есть читкод, как легко находить точки на круге.

Обязательно потренируйтесь находить точки на окружности! Самое важное при подготовке к ЕГЭ — это практика. Чем больше внимания вы уделите подготовке, тем более предсказуемый и высокий результат на экзамене вы получите (спасибо, Кэп). Как бы это ни было очевидно, многие выпускники не делают самостоятельных заданий. В итоге из всех, кто начинал делать задание С1 только каждый третий выполнил его верно. (Это не считая тех, кто к заданию не приступал)

 

В общем, на этом все. Если урок вам понравился, ставьте лайки и делитесь с друзьями! Тогда вы сможете получить больше бесплатных видео и уроков о том, как сдавать ЕГЭ.

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 16853

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить