(383) 375-08-85

22
Июль
2013

Решение С3 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Восток

Логарифмическое неравенство и упрощение алгебраических дробей

В этой статье и видеоуроке к ней мы решим систему неравенств С3 из реального ЕГЭ 2013:

`\left\{\begin{array}{l}\log_{4-x} \dfrac{-5-x}{x-4} \leqslant -1, \\ \dfrac{x^2-5x+3}{x-4} + \dfrac{5x-27}{x-6} \leqslant x+4. \end{array}\right.`

Логарифмическое неравенство решается за пару минут. А вот дроби поначалу сильно сбивают: если приводить их к общему знаменателю, то они становятся слишком громоздкими. Но решение есть, причем достаточно простое.

Желающие прямо сейчас разобраться, что делать с дробями, могут обратиться к варианту для Урала — решение там абсолютно такое же. А мы начнем по порядку — с первого неравенства.

Первое неравенство, логарифмическое

ОДЗ

Напоминаю, онование логарифма строго положительно и не равно единице, аргумент логарифма строго положителен:

`\left\{ \begin{array}{l}4-x > 0, \\ 4-x \neq 1 , \\ \dfrac{-5-x}{x-4}> 0.\end{array}\right.`

Последнюю неравенство с дробью решаем методом интервалов. Отсюда получим:

`\left\{ \begin{array}{c}x <4, \\ x \neq 3 , \\ -5< x < 4.\end{array}\right.`

Решаем логарифмическое неравенство

`\log_{4-x} \dfrac{-5-x}{x-4} \leqslant -1`,

`\log_{4-x} \dfrac{-5-x}{x-4} +1\leqslant 0`.

По определению логарифма `1= \log_{4-x} (4-x)`. Воспользуемся этим:

 `\log_{4-x} \dfrac{-5-x}{x-4} +\log_{4-x} (4-x)\leqslant 0`.

Воспользуемся свойством логарифма, что `\log_a b + \log_a c= \log_a bc`:

`\log_{4-x} \dfrac{(-5-x)\cdot (4-x)}{x-4}\leqslant 0`.

Сокращаем дробь в аргументе логарифма:

`\log_{4-x} (5+x)\leqslant 0`.

Далее воспользуемся методом рационализации логарифмических неравенств. Если коротко об этом методе, то неравенство `\log_a b \leqslant 0` эквивалентно (т. е. имеет такое же решение) неравенству  `(a-1) \cdot (b-1) \leqslant 0`. Получим, что наше неравенство эквивалентно следующему:

`(4-x-1) (5+x-1)\leqslant 0`,

`(3-x) (4+x)\leqslant 0`.

Вновь решаем методом интервалов. Получим:

`\left[\begin{array}{l}x\geqslant 3,\\ x \leqslant -4. \end{array} \right.`

Наконец, чтобы получить окончательное решение, осталось совместить ОДЗ и решение самого неравенства.

Желтым на рисунке показана область, где решение удовлетворяет ОДЗ.

Второе неравенство

Самая интересная часть этого задания ЕГЭ — второе неравенство, над которым, прежде чем решать, нужно подумать.

`\dfrac{x^2-5x+3}{x-4} + \dfrac{5x-27}{x-6} \leqslant x+4.`

Числители дробей не раскладываются на множители, а значит, сократить со знаменателем не получится :( Что же делать? Приводить к общему знаменателю не хочется — есть риск получить огромное выражение и ошибиться. Ответ прост: нужно поделить числитель на знаменатель в столбик. Подробно эта операция показана в видео.

После деления неравенство примет такой вид:

`x-1-\dfrac{1}{x-4}+5+\dfrac{3}{x-6} \leqslant x+4,`

`- \dfrac{1}{x-4}+\dfrac{3}{x-6} \leqslant 0`.

Согласитесь, теперь его решать значительно приятнее :) Приведем к общему знаменателю:

`\dfrac{-x+6+3x-12}{(x-4)(x-6)}\leqslant 0,`

`\dfrac{2x-6}{(x-4)(x-6)}\leqslant 0.`

Через метод интервалов получим:

Самое последнее — совместим решение обоих неравенств.

Желтым показано общее решение неравенств.

Итак, мы получили ответ: `x\in(-5,4]`.

Просмотров: 3778

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить