Решение С5 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Центр

Найти все значения `a`, при каждом из которых уравнение

`ax+\sqrt{-7-8x-x^2}=2a+3`

имеет единственный корень.

Эта задача интересна тем, что если решать ее аналитически (возводить в квадрат, анализировать ОДЗ и проч.) то докопаться до истины крайне тяжело.

Если же решать ее графическим способом, то правильный ответ получается через за несколько минут.

Итак, приступим к решению. Как обычно при решении графически,
нужно выделить функции, графики которых мы будем строить. Для этого корень оставим в левой части уравнения, а все остальное в правой. Тогда получится:

`\sqrt{-7-8x-x^2}=2a+3-ax`.

Чтобы получить удобную функцию в правой части, вынесем `-a` за скобки:

`\sqrt{-7-8x-x^2}=-a(x-2)+3`.

Введем функции `y=\sqrt{-7-8x-x^2}` и `y=-a(x-2)+3` и построим их графики.  График `y=-a(x-2)+3`, очевидно, прямая с коэффициентом наклона `-a`, проходящая через точку `(2,3)`. А как будет выглядеть график первой функции?

Графиком первой функции будет полуокружность. Для того, чтобы лучше это понять, давайте возведем `y` и правую часть в квадрат (при этом запомним, что нам еще надо будет подумать про ОДЗ). Получим:

`y^2=-7-8x-x^2`.

Все перенесем в левую часть и выделим полный квадрат относительно `x`:

`y^2+x^2+8x+7=0`,
`y^2+(x^2+8x+16) - 9 = 0`,
`y^2+(x+4)^2 = 9`.

Известно, что график для полученного уравнения - это окружность с центром в точке `(-4,0)` и радиусом `3`.

Теперь вспомним, что изначально функцией нас был корень, а значит, это накладывает ОДЗ на `x` и `y`. В частности, `y` может быть только положительным (т. к. он равен корню). Подкоренное выражение будет неотрицательно при `x \in [-7,-1]`. Значит, с учетом ОДЗ получится полуокружность - верхняя часть уже нарисованной нами окружности.

Осталось совместить графики обеих функций.

Параметр `a= `
(кнопки меняют значение парамета)

Настоятельно рекомендую понажимать на кнопки (+/-) и понаблюдать, как себя ведет прямая в зависимости от параметра.

Из рисунка видно, что есть несколько вариантов взаимного расположения графиков: они пересекаются в одной или двух точках, касаются, или не имеют общих точек.

Так как прямая всегда проходит через точку `(2,3)` с абсциссой `3`,  и верхняя точка окружности имеет абсциссу `3`, то условие касания графиков легко видно из рисунка - прямая должна быть параллельна `Ox`, значит, коэффициент `a=0`. Строго доказать, что данная прямая будет касательной можно геометрически, показав, что она перпендикулярна радиусу проведенному в точку `(-4,3)`.

Разберем варианты пересечения графиков. При `a=-1` прямая касается графика полуокружности в точке `(-1,0)`. При увеличении `a` (нажимаем на кнопку +) угол наклона прямой будет уменьшаться (т. к. перед `a` стоит минус и коэффициент наклона будет, соответственно, увеличиваться). До тех пор пока прямая и полуокружность имеют одну точку пересечения, нас все устраивает. Вторая общая точка появится, когда прямая пересечет полуокружность в точке `(-7,0)`. Подставив эту точку в уравнение получим, что это произойдет при `a =- 1/3`. Значит, при `a\in (-\frac13,-1]` прямая и полуокружность имеют одну общую точку.

Ответ: `a\in (-\frac13,-1] \cup \{0\}`.