Решение С5 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Урал

Найти все значения `a`, при каждом из которых уравнение

`8a+\sqrt{7+6x-x^2}=ax+4`

имеет единственный корень.

Решение будет абсолютно аналогично варианту для центрального региона (ссылка на него находится ниже). Решаем графическим способом.

Выделим функции, графики которых сейчас построим. Для этого преобразуем следующим образом:

`\sqrt{7+6x-x^2}=ax+4-8a`.

Для того, чтобы получить "красивую" функцию справа, вынесем `a` за скобки:

`\sqrt{7+6x-x^2}=a(x-8)+4`.

Введем функции `y=\sqrt{7+6x-x^2}` и `y=a(x-8)+4` и построим их графики.  График `y=a(x-8)+4` - прямая с коэффициентом наклона `a`, проходящая через точку `(8,4)`. График `y=\sqrt{7+6x-x^2}` (как мы уже решали в варианте для Центра) - полуокружность.

Для подробной демонстрации того, у нас получится действительно полуокружность, давайте возведем все в квадрат (при этом запомним, что нам еще надо будет подумать про ОДЗ). Получим:

`y^2=7+6x-x^2`.

Все перенесем в левую часть и выделим полный квадрат относительно `x`:

`y^2+x^2-6x-7=0`,
`y^2+(x^2-6x+9) - 16 = 0`,
`y^2+(x-3)^2 = 16`.

График для полученного уравнения - это окружность с центром в точке `(3,0)` и радиусом `4`.

Теперь вернемся к ОДЗ. `y` может быть только положительным (т. к. он равен корню). Подкоренное выражение будет неотрицательно при `x \in [-1,7]`. Значит, с учетом ОДЗ получится верхняя полуокружность уже построенной окружности.

Осталось совместить графики прямой и полуокружности.

Параметр `a= `
(кнопки меняют значение парамета)

Нажимаем на кнопки (+/-) и наблюдаем, как себя ведет прямая в зависимости от параметра.

Очевидно, есть несколько вариантов взаимного расположения графиков: они могут пересекаться в одной или двух точках, касаться, или не иметь общих точек.

Так как прямая всегда проходит через точку `(8,4)` с абсциссой `4`,  и верхняя точка полуокружности имеет абсциссу `4`, то условие касания графиков легко видно из рисунка - прямая должна быть параллельна `Ox`, т. е. коэффициент `a=0`. Строго доказать, что данная прямая будет касательной можно геометрически, показав, что она перпендикулярна радиусу проведенному в точку `(3,4)`.

Разберем варианты пересечения графиков. Для начала предлагаю нажать на плюс до тех пор, пока не добьемся, чтобы a было равно четырем. Какои взаимное расположение графиков получалось? Данное значение параметра легко получается, если подставить в исходное уравнение `x=7`. Итак, при `a=4` прямая касается графика полуокружности в точке `(7,0)`. При уменьшении `a` (нажимаем на кнопку "−") угол наклона прямой будет уменьшаться. До тех пор пока прямая и полуокружность имеют одну точку пересечения, решение будет одно (эти `a` пойдут в ответ). Вторая общая точка появится, когда прямая пересечет полуокружность в точке `(-1,0)`. Подставив эту точку в уравнение получим, что это произойдет при `a =4/9`. Значит, при `a\in (\frac49,4]` прямая и полуокружность имеют одну общую точку.

Ответ: `a\in (\frac49,4] \cup \{0\}`.