Решение С5 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Восток

Как решать это С5 из ЕГЭ 2013?

Найдите все значения параметра `a` при каждом из которых уравнение

`x^2-|x+2+a|=|x-a-2|-(a-2)^2`

имеет единственный корень.

Решать будем точно так же, как и вариант для Сибири (сслыку на него можно найти внизу статьи)

Преобразуем задание, чтобы оно было максимально похоже на уже решенный вариант для Сибири. Для этого модули перенесем вправо, а все остальное - влево:

`x^2+(a+2)^2=|x-a-2|+|x+2+a|`

Дальше решаем по старой схеме: заметим, что при замене в этом уравнении `x`  на `-x` ничего не изменится

`(-x)^2+(a+2)^2=|-x-a-2|+|-x+2+a|`

`-x`в квадрате дает `x`. Теперь внимание на модули. Воспользуемся свойством `|-x|= |x|` (легко проверяется, если раскрыть знак модуля слева и справа на положительном и отрицательном направлении оси `x`).

Получим, что внутри обоих модулей все знаки можно поменять:

`x^2+(a+2)^2=|x+a+2|+|x-2-a|`

Видим, что теперь правая часть не отличается от первоначальной. Это значит, уравнение нечувствительно относительно смены знака при `x`, то есть для каждого положительного корня найдется такой же по модулю отрицательнй. То есть если некоторый `x` удовлетворяет нашему уравнению, то и `-x` будет также, удовлетворять.

По условию задачи нас просят найти единственный `x`. Значит, чтобы наши решения не дублировались, необходимо (но не достаточно, но об этом позже), чтобы `x` равнялся нулю. 

Таким образом, мы знаем, что `x=0` должно быть решением уравнения. Подставим его и найдем `a`:

`(a+2)^2 = |2+a| + |a+2|.`

По уже использованному свойству модуля `|x| = |-x|` поменяем знаки внутри первого модуля в левой части. Левую часть тоже преобразуем: `(a+2)^2=|a+2|^2` -- можно легко проверить, раскрыв модуль по правилам. Получим:

`|a+2|^2 = 2|a+2|`
`|a+2|^2 - 2|a+2|=0`
`|a+2|\cdot (|a+2|-2)=0`

`\left[\begin{gather} |a+2| = 0; \\ |a+2|-2 = 0. \end{gather}\right.` `\Rightarrow` `\left[\begin{gather} a+2 = 0; \\ |a+2| = 2. \end{gather}\right.` `\Rightarrow` `\left[\begin{gather} a &= -2; \\ a+2&=2;\\ a+2 &= -2. \end{gather}\right.` `\Rightarrow` `\left[\begin{gather} a = -2; \\ a=0;\\ a=-4. \end{gather}\right.`

Вновь у нас три "кандидата" для ответа. Почему это еще не ответ? Мы уже упоминали о необходимых и достаточных условиях. Пришло время рассмотреть это подробнее.

Нестрогое рассуждение. Нам было необходимо, чтобы нашим ответом был ноль. Только он может быть единственным. Отталкиваясь от этого, мы получили те `a`, которые приведут к такому ответу. Но достаточно ли это требование, чтобы решение было единственным? Ведь не факт, что если ноль является решением уравнение, то не найдется никаких других `x`, которые так же будут решениями.

Поэтому нам придется проверить решения для каждого `a`.

Пусть `a=-2`

Тогда исходное уравнение примет вид `x^2=|x|+|x|`. Решаем, пользуясь все теми же свойствами модуля:

\begin{gather} |x|^2-2|x|=0;\\ |x|\cdot(|x|-2)=0. \end{gather}

`\left[\begin{align} x&=0;\\ x&=2;\\ x&=-2. \end{align}\right.`

Отсюда видим, что при `a=-2` будет три решения и одно из них ноль (чего мы и добивались изначально). Значит, такое `a` нас не устроит :(.

Пусть `a=0`

Тогда исходное уравнение будет выглядеть так: `x^2 + 4 =|x+2|+|x-2|`. Раскроем модуль по всем правилам:

`\left[ \begin{align} x^2+4 &= x+2 +x - 2,& &\text{ если } &x > 2;\\ x^2+4 &= x+2 -x + 2,& &\text{ если } &-2\leqslant x \leqslant 2;\\ x^2+4 &= -x-2 -x + 2,& &\text{ если } &x < -2.\\ \end{align} \right.`

Перенеся все в левую часть и приведя подобные, получим: `

`\left[ \begin{align} x^2 -2x +4&=0,& &\text{ если } &x > 2;\\ x^2 &= 0,& &\text{ если } &-2\leqslant x \leqslant 2;\\ x^2 +2x +4&= 0,& &\text{ если } &x < -2.\\ \end{align} \right. `

У первого и третьего уравнений дискриминант меньше нуля, значит, корней они не имеют, значит, решение `x=0` из второго уравнения единственное.

Пусть $a=-4$

Тогда исходное уравнение будет выглядеть так: $x^2 + 4 =|x-2|+|x+2|$. То есть уравнение приняло такой же вид, как и при $a=1$. Значит, и решение у него будет такое же, $x=0$. Вот мы и дошли до ответа.

Ответ: $a=0,\ a=-4$.

Как обычно, видео решение прилагается.