Решение С2 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Восток

Здравствуйте, уважаемые читатели.

Здесь будет решение последней задачи С2 из реального ЕГЭ 2013 года. Решать будем то же задание, что и выпускники восточного региона.

В прямоугольном параллелепипеде `ABCDA_1B_1C_1D_1` известны ребра `AB = 8, AD = 7, AA_1 = 5`. Точка `W` принадлежит ребру `DD_1` и делит его в отношении `1:4`, считая от вершины `D`. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки `C, W` и `A_1`.

Задача, конечно, элементарная, однако неподготовленного школьника может легко сбить с толку. Итак, приступим.

Исходный параллелепипед выглядит следующим образом:

Построение сечения

• Отметим на ребре `DD_1` точку `W`.
• Проведем отрезок `A_1W`.
• Через точку `C` проведем прямую, параллельную `A_1W`. Пусть она пересекает `BB_1` в точке `N`.

Параллелограмм `A_1WCN` — искомое сечение. (Убедиться, что полученный четырехугольник является параллелограммом, предлагаю самостоятельно.)

Более подробно за описанием построения можно обратиться к Сибирскому варианту ЕГЭ.

Найдем стороны получившегося параллелограмма.

Поиск сторон

 Рассмотрим грань `AA_1D_1D` исходного параллелепипеда.

Сторона `A_1D_1 = 7` известна по условию, `D_1W = 4` также по условию.

По теореме Пифагора `A_1W = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}`.

Теперь рассмотрим грань `DD_1C_1C`.

Аналогично по теореме Пифагора находим `WC=\sqrt{64+1} = \sqrt{65}`.

Теперь стало понятно, что наше сечение — ромб. Давайте вынесем его на отдельный рисунок.

Его площадь может быть удобно искать как половину произведения диагоналей, но сейчас мы пойдем немного другим путем: разобьем ромб на два одинаковых треугольника и найдем площадь одного из них — половины ромба.

Итак, `A_1C` — это диагональ исходного прямоугольного параллелепипеда. `A_1C = \sqrt{5^2 + 8^ 2 + 7^2} = \sqrt{138}`.

Чтобы найти площадь `\triangle A_1WC`, найдем высоту `WH`. Заметим, что `WH` это еще и медиана, т. к. `\triangle A_1WC` равнобедренный, значит `HC = \frac{\sqrt{138}}{2}`.

По теореме Пифагора получим: `WH = \sqrt{65 - \dfrac{138}{4}} = \sqrt{\dfrac{61}{2}}`.

Теперь можно найти `S_{\triangle A_1WC}`.

$$S_{\triangle A_1WC} = \sqrt{138} \cdot  \sqrt{\frac{61}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{138\cdot 61}{2}} = \sqrt{69\cdot 61} = \sqrt{4209}$$.

Осталось умножить полученную площадь на два, чтобы получить площадь сечения. Замечательный ответ :)

Ответ

`2\sqrt{4209}`.

 

А теперь внимание! В решении была допущена ошибка. Кто готов найти ее?

Если решение понятно, то дружно ставим лайки, и пишем комментарии, если непонятно.