(383) 375-08-85

  • Решение ЕГЭ
  • Решение С2 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Восток
29
Июль
2013

Решение С2 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Восток

Поиск площади сечения прямоугольного параллелепипеда

Здравствуйте, уважаемые читатели.

Здесь будет решение последней задачи С2 из реального ЕГЭ 2013 года. Решать будем то же задание, что и выпускники восточного региона.

В прямоугольном параллелепипеде `ABCDA_1B_1C_1D_1` известны ребра `AB = 8, AD = 7, AA_1 = 5`. Точка `W` принадлежит ребру `DD_1` и делит его в отношении `1:4`, считая от вершины `D`. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки `C, W` и `A_1`.

Задача, конечно, элементарная, однако неподготовленного школьника может легко сбить с толку. Итак, приступим.

Исходный параллелепипед выглядит следующим образом:

Прямоугольный параллелепипед, С2 восток

Построение сечения

  • Отметим на ребре `DD_1` точку `W`.
  • Проведем отрезок `A_1W`.
  • Через точку `C` проведем прямую, параллельную `A_1W`. Пусть она пересекает `BB_1` в точке `N`.

Сечение параллелепипеда (параллелограмм), с2 ЕГЭ 2013

Параллелограмм `A_1WCN` — искомое сечение. (Убедиться, что полученный четырехугольник является параллелограммом, предлагаю самостоятельно.)

Более подробно за описанием построения можно обратиться к Сибирскому варианту ЕГЭ.

Найдем стороны получившегося параллелограмма.

Поиск сторон

 Рассмотрим грань `AA_1D_1D` исходного параллелепипеда.

AA1D1D — прямоугольник.

Сторона `A_1D_1 = 7` известна по условию, `D_1W = 4` также по условию.

По теореме Пифагора `A_1W = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}`.

Теперь рассмотрим грань `DD_1C_1C`.

Грань DD1C1C параллелепипеда — прямоугольник. Реальное ЕГЭ 2013

Аналогично по теореме Пифагора находим `WC=\sqrt{64+1} = \sqrt{65}`.

Теперь стало понятно, что наше сечение — ромб. Давайте вынесем его на отдельный рисунок.

Искомое сечение — ромб. С2, егэ 2013

Его площадь может быть удобно искать как половину произведения диагоналей, но сейчас мы пойдем немного другим путем: разобьем ромб на два одинаковых треугольника и найдем площадь одного из них — половины ромба.

Итак, `A_1C` — это диагональ исходного прямоугольного параллелепипеда. `A_1C = \sqrt{5^2 + 8^ 2 + 7^2} = \sqrt{138}`.

Чтобы найти площадь `\triangle A_1WC`, найдем высоту `WH`. Заметим, что `WH` это еще и медиана, т. к. `\triangle A_1WC` равнобедренный, значит `HC = \frac{\sqrt{138}}{2}`.

По теореме Пифагора получим: `WH = \sqrt{65 - \dfrac{138}{4}} = \sqrt{\dfrac{61}{2}}`.

Теперь можно найти `S_{\triangle A_1WC}`.

$$S_{\triangle A_1WC} = \sqrt{138} \cdot  \sqrt{\frac{61}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{138\cdot 61}{2}} = \sqrt{69\cdot 61} = \sqrt{4209}$$.

Осталось умножить полученную площадь на два, чтобы получить площадь сечения. Замечательный ответ :)

Ответ

`2\sqrt{4209}`.

 

А теперь внимание! В решении была допущена ошибка. Кто готов найти ее?

Если решение понятно, то дружно ставим лайки, и пишем комментарии, если непонятно.

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 5306

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить