Решение С4 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Восток

Здравствуйте!

Давно подмечено, что варианты для сибирского и восточного региона очень похожи. Вот и эта задача напоминает вариант для Сибири. Звучит она так:

Окружности радиусов 11 и 21 с центрами `O_1` и `O_2` соответственно касаются внутренним образом в точке `K`, `MO_1` и `NO_2` — параллельные радиусы этих окружностей, причем `\angle MO_1O_2 = 120^\circ`. Найдите `MN`.

Важное отличие этой задачи в том, что окружности касаются внутренним образом. Остальное, вплоть до дополнительных построений, похоже.

Двойственность формулировки этой задачи С4 заключается в том, что радиусы, как и в сибирском варианте могут лежать по одну или по разные стороны от прямой `O_1O_2`.

Первый случай

Из условия известно, что сторона `MO_1 = 11`, сторона `NO_2 = 21`. Длину отрезка `O_1O_2` получаем как разность радиусов окружностей, `O_1O_2 = 10`.

Проведем отрезок `MD`, параллельно стороне `O_1O_2` и отметим некоторые известные углы и длины:

`\angle O_1O_2D = 60^\circ`, т. к. он односторонний с углом в `120^\circ`. `\angle MDN` соответственный с углjм `\angle O_1O_2D`, значит, они равны.

`MDO_2O_1` — параллелограмм, т. к. его стороны попарно параллельны (по условию и по построению), значит, `DO_2=11, MD =10`. `NO_2 = 21` (это радиус большой окружности), отсюда получаем `ND = NO_2 - DO_2 = 21-11 = 10`.

Бинго! Треугольник `MND` равнобедренный (`MD = ND`)! Угол при вершине равен `60^\circ`, что говорит нам о том, что он еще и равносторонний.

`MN` для этого случай найдено. Длина этого отрезка — 10.

Второй случай

Как видно, в этот раз картинка получилась интереснее.

Перерисуем чертеж: уберем окружности и достроим некоторые детали.

Мы провели отрезок `MD` параллельно `O_1O_2` (так же как и в прошлый раз)  и соединили его с продолжением отрезка `NO_2`.

Обоснование, почему `\angle D` равен `120^\circ` уже было нами дано (`MDO_2O_1` — параллелограмм). Длины отрезков нам также уже посчитаны.

По теореме косинусов получим длину `MN`:

$$MN^2 = MD^2 +DN^2 - 2\cdot \cos 120^\circ \cdot MD \cdot DN,$$

$$MN^2 = 10^2 +32^2 - 2\cdot \left(-\frac 12\right) \cdot 10 \cdot 32,$$

$$MN^2 = 100 +1024+ 320,$$

$$MN^2 = 1444,$$

$$MN^2 = 38.$$

Это ответ для второго случая

Ответ

`38; 10.`

На этом все. Задавайте вопросы в комментариях и ставьте лайки.