(383) 375-08-85

  • Решение ЕГЭ
  • Решение С4 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Восток
26
Июль
2013

Решение С4 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Восток

Касающиеся внутренним образом окружности, поиск длины отрезка по теореме косинусов.

Здравствуйте!

Давно подмечено, что варианты для сибирского и восточного региона очень похожи. Вот и эта задача напоминает вариант для Сибири. Звучит она так:

Окружности радиусов 11 и 21 с центрами `O_1` и `O_2` соответственно касаются внутренним образом в точке `K`, `MO_1` и `NO_2` — параллельные радиусы этих окружностей, причем `\angle MO_1O_2 = 120^\circ`. Найдите `MN`.

Важное отличие этой задачи в том, что окружности касаются внутренним образом. Остальное, вплоть до дополнительных построений, похоже.

Двойственность формулировки этой задачи С4 заключается в том, что радиусы, как и в сибирском варианте могут лежать по одну или по разные стороны от прямой `O_1O_2`.

Первый случай

Касающиеся окружности и два радиуса по одну сторону от линии центров

Из условия известно, что сторона `MO_1 = 11`, сторона `NO_2 = 21`. Длину отрезка `O_1O_2` получаем как разность радиусов окружностей, `O_1O_2 = 10`.

Проведем отрезок `MD`, параллельно стороне `O_1O_2` и отметим некоторые известные углы и длины:

Отдельно нарисуем выделенный красным цветом многоугольник

`\angle O_1O_2D = 60^\circ`, т. к. он односторонний с углом в `120^\circ`. `\angle MDN` соответственный с углjм `\angle O_1O_2D`, значит, они равны.

`MDO_2O_1` — параллелограмм, т. к. его стороны попарно параллельны (по условию и по построению), значит, `DO_2=11, MD =10`. `NO_2 = 21` (это радиус большой окружности), отсюда получаем `ND = NO_2 - DO_2 = 21-11 = 10`.

Бинго! Треугольник `MND` равнобедренный (`MD = ND`)! Угол при вершине равен `60^\circ`, что говорит нам о том, что он еще и равносторонний.

`MN` для этого случай найдено. Длина этого отрезка — 10.

Второй случай

real 2013 C4vost 3

Как видно, в этот раз картинка получилась интереснее.

Перерисуем чертеж: уберем окружности и достроим некоторые детали.

real 2013 C4vost 4

Мы провели отрезок `MD` параллельно `O_1O_2` (так же как и в прошлый раз)  и соединили его с продолжением отрезка `NO_2`.

Обоснование, почему `\angle D` равен `120^\circ` уже было нами дано (`MDO_2O_1` — параллелограмм). Длины отрезков нам также уже посчитаны.

По теореме косинусов получим длину `MN`:

$$MN^2 = MD^2 +DN^2 - 2\cdot \cos 120^\circ \cdot MD \cdot DN,$$

$$MN^2 = 10^2 +32^2 - 2\cdot \left(-\frac 12\right) \cdot 10 \cdot 32,$$

$$MN^2 = 100 +1024+ 320,$$

$$MN^2 = 1444,$$

$$MN^2 = 38.$$

Это ответ для второго случая

Ответ

`38; 10.`

На этом все. Задавайте вопросы в комментариях и ставьте лайки.

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 2036

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить