(383) 375-08-85

  • Уроки ЕГЭ
  • Как решать С3
  • Как решать С3. Урок 6. ЕГЭ по математике 2014. Иррациональные неравенства вида `f(x)·sqrt{g(x)} ∨ 0`
15
Август
2013

Как решать С3. Урок 6. ЕГЭ по математике 2014. Иррациональные неравенства вида `f(x)·\sqrt{g(x)} ∨ 0`

Решение иррациональных неравенств (случай `f(x)\sqrt{g(x)} \vee0`). Объяснение алгоритма и примеры

Иррациональность (читай: корни) часто встречается в ЕГЭ как часть логарифмических или показательных неравенств. Но наш курс не был бы полным, если бы мы не рассмотрели иррациональные неравенства отдельно.

Принципиально иррациональные неравенства можно разделить на две группы:

$$f(x)·\sqrt{g(x)} \vee 0 \quad \text{ и }\quad f(x)\vee \sqrt{g(x)},$$

где вместо `\vee` стоит любой знак неравенства.

В этом уроке мы рассмотрим первый тип, с умножением. В общем виде решение подобных неравенств можно записать следующим образом.

Если `\vee` — это знак строгого неравенства (`>` или `<`), то исходное неравенство эквивалентно системе:

$$\left\{\begin{array}{l} g(x) > 0,\\ f(x) \vee 0. \end{array}\right.$$

Почему получилась такая система? `g(x) > 0` — это, по сути, ОДЗ. Мы знаем, что ОДЗ корня, это когда подкоренная функция больше или равна нулю. Почему в системе нет равенства нулю? Если `g(x) =0`, то тогда левая часть исходного неравенства занулится, что неверно (так как равенство строгое).

Поскольку корень принимает только положительные значения (ноль мы отбросили), то произведение `f(x)· \sqrt{g(x)}` будет принимать тот же знак, что и `f(x)`. Значит, достаточно сравнить с нулем только `f(x)`, чтобы получить ответ на исходное неравенство.

Что если `\vee` — нестрогое неравенство (`\geqslant` или `\leqslant`)? Тогда система не сильно изменится:

$$\left\{\begin{array}{l} g(x) \geqslant 0,\\ f(x) \vee 0. \end{array}\right.$$

Мы добавили возможнось обеим функциям принимать нулевые значения, потому что если хотя бы одна из них равна нулю, то тогда и произведение равно нулю, а это подходит нашему условию.

Покажем как работает эта схема на примерах.

Первый пример решения иррационального нервенства

$$x·\sqrt{x+2}<0.$$

Действуя строго по схеме, получим такую систему:

$$\left\{\begin{array}{l}x+2 > 0,\\ x < 0; \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}x> -2,\\ x < 0. \end{array}\right.$$

Фактически, это уже ответ: `(-2,0)`. Как видно, вновь ничего сложного. Возможно, вам сразу захочется решать более сложные задания (например, из ЕГЭ). Я бы предостерег: лучше идти небольшими шагами, но так, чтобы каждый переход был предельно ясен, чем сразу погрузиться в задачи, к которым вы еще не готовы. Если эта тема кажется реально легкой, то прорешайте все задания для тренировки и добро пожаловать на следующий урок.

Перейдем ко второму примеру.

Второй пример. Нестрогое иррациональное неравенство

$$(2+x)·\sqrt{x-1}\geqslant 0,$$
$$\left\{\begin{array}{l}x-1\geqslant  0,\\ 2+x \geqslant 0; \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}x\geqslant 1,\\ x \geqslant -2. \end{array}\right.$$

Совместив неравенства (можно в уме, можно на числовой оси), получим ответ: `x \geqslant 1`.

Пример третий. Иррациональное неравенство с квадратичной функцией

$$(x^2 - 7x + 6)· \sqrt{11-x} < 0,$$
$$\left\{\begin{array}{l}11-x > 0,\\ x^2 - 7x + 6 < 0; \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}x < 11,\\ (x - 6)(x - 1) < 0. \end{array}\right.$$

Решив, второе неравенство, с помощью метода интервалов, получим:

$$\left\{\begin{array}{l}x < 11,\\ 1<x <6. \end{array}\right.$$

Таким образом, ответ: `(-1,6)`.

Четвертый пример. Иррациональное неравенство, квадрат под корнем

$$(x-1) ·\sqrt{x^2 -x - 2} \geqslant 0,$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2 -x - 2\geqslant 0,\\ x-1 \geqslant 0; \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} (x-2)(x+1)\geqslant 0,\\ x \geqslant 1. \end{array}\right.$$

Решив первое неравенство и записав решение в систему, получим:

$$\left\{\begin{array}{l} x\geqslant 2, \\ x\leqslant -1 ,\\ x \geqslant 1; \end{array}\right.$$

Наложение неравенств этой системы даст ответ: `x\geqslant 2`.

 

Задания для тренировки

Решите неравенства:

  • `(x^2-1)\sqrt{5x-1} \leqslant 0`,
  • `(2x^2 -5x +3) \sqrt{-x^2 +4x -3}\geqslant 0`,
  • `(x^2 -2x - 8) \sqrt{\dfrac{x^2 -x -2}{x^2 - 2x - 3}}\leqslant 0`.

На этом закончим. Успехов в подготовке к ЕГЭ! Ставьте лайки, если статья оказалась полезной, а вопросы оставляйте в комметариях.

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 3701

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить