Как решать С3. Урок 6. ЕГЭ по математике 2014. Иррациональные неравенства вида `f(x)·\sqrt{g(x)} ∨ 0`

Иррациональность (читай: корни) часто встречается в ЕГЭ как часть логарифмических или показательных неравенств. Но наш курс не был бы полным, если бы мы не рассмотрели иррациональные неравенства отдельно.

Принципиально иррациональные неравенства можно разделить на две группы:

где вместо `\vee` стоит любой знак неравенства.

В этом уроке мы рассмотрим первый тип, с умножением. В общем виде решение подобных неравенств можно записать следующим образом.

Если `\vee` — это знак строгого неравенства (`>` или `<`), то исходное неравенство эквивалентно системе:

$$\left\{\begin{array}{l} g(x) > 0,\\ f(x) \vee 0. \end{array}\right.$$

Почему получилась такая система? `g(x) > 0` — это, по сути, ОДЗ. Мы знаем, что ОДЗ корня, это когда подкоренная функция больше или равна нулю. Почему в системе нет равенства нулю? Если `g(x) =0`, то тогда левая часть исходного неравенства занулится, что неверно (так как равенство строгое).

Поскольку корень принимает только положительные значения (ноль мы отбросили), то произведение `f(x)· \sqrt{g(x)}` будет принимать тот же знак, что и `f(x)`. Значит, достаточно сравнить с нулем только `f(x)`, чтобы получить ответ на исходное неравенство.

Что если `\vee` — нестрогое неравенство (`\geqslant` или `\leqslant`)? Тогда система не сильно изменится:

Мы добавили возможнось обеим функциям принимать нулевые значения, потому что если хотя бы одна из них равна нулю, то тогда и произведение равно нулю, а это подходит нашему условию.

Покажем как работает эта схема на примерах.

Первый пример решения иррационального нервенства

Действуя строго по схеме, получим такую систему:

Фактически, это уже ответ: `(-2,0)`. Как видно, вновь ничего сложного. Возможно, вам сразу захочется решать более сложные задания (например, из ЕГЭ). Я бы предостерег: лучше идти небольшими шагами, но так, чтобы каждый переход был предельно ясен, чем сразу погрузиться в задачи, к которым вы еще не готовы. Если эта тема кажется реально легкой, то прорешайте все задания для тренировки и добро пожаловать на следующий урок.

Перейдем ко второму примеру.

Второй пример. Нестрогое иррациональное неравенство

Совместив неравенства (можно в уме, можно на числовой оси), получим ответ: `x \geqslant 1`.

Пример третий. Иррациональное неравенство с квадратичной функцией

Решив, второе неравенство, с помощью метода интервалов, получим:

Таким образом, ответ: `(-1,6)`.

Четвертый пример. Иррациональное неравенство, квадрат под корнем

Решив первое неравенство и записав решение в систему, получим:

Наложение неравенств этой системы даст ответ: `x\geqslant 2`.

Задания для тренировки

Решите неравенства:

• `(x^2-1)\sqrt{5x-1} \leqslant 0`,
• `(2x^2 -5x +3) \sqrt{-x^2 +4x -3}\geqslant 0`,
• `(x^2 -2x - 8) \sqrt{\dfrac{x^2 -x -2}{x^2 - 2x - 3}}\leqslant 0`.

На этом закончим. Успехов в подготовке к ЕГЭ! Ставьте лайки, если статья оказалась полезной, а вопросы оставляйте в комметариях.