Решение С1 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Центр

Это задание С1 очень похоже не задание для уральского региона, с тем отличием, что отбор корней мы будем делать, возможно, чуть дольше.

а) Решите уравнение `15^{\cos x} = 3^{\cos x}\cdot 5^{\sin x}`.

б) найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `\left[5\pi ; \frac{13\pi}{2} \right]`.

Чтобы решить это задание, нужно знать основные свойства степеней, и, как обычно для С1, уметь работать с тригонометрическим кругом.

Преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись свойством степени, что `(ab)^c = a^c \cdot b^c`. Получим:

`3^{\cos x} \cdot 5^{\cos x} = 3^{\cos x}\cdot 5^{\sin x}`.

`3^{\cos x}` никогда не равно нулю (потому что это показательная функция), значит, мы можем разделить на `3^{\cos x}` левую и правую часть уравнения:

` 5^{\cos x} = 5^{\sin x}`.

Теперь избавимся от одинаковых оснований степеней:

` \cos x= \sin x`.

Разделим на `\cos x`. (При этом заметим, что он не равен нулю, иначе синус был бы тоже равен нулю, но из основного тригонометрического тождества мы знаем, что одновременно синус и косинус равны нулю быть не могут.)

` 1=\mathop{\mathrm{tg}} x`.

Решение этого уравнения отметим на окружности:

Ответ под буквой а) `\frac{\pi}{4}+\pi k ,\ k\in \mathbb{Z}`.

Теперь займемся отбором корней.

В этом задании С1 проще всего выполнить отбор корней, используя двойное неравенство.

Ограничим полученную серию корней концами требуемого отрезка:

`5\pi\leqslant\frac{\pi}{4}+\pi k \leqslant \frac{13\pi}{2}`.

В сибирском варианте мы уже решали двойные неравенства. Напомню, что мы имеем право выполнять с ними такие же действия, как и с обычными неравенствами: увеличивать (уменьшать) каждую часть на одно и то же слагаемое (вычитаемое), умножать (делить) каждую часть на один и тот же положительный множитель (делитель). Наша задача — оставить в центральной части неравенства только `k`. Действовать будем так:

`5\pi\leqslant\frac{\pi}{4}+\pi k \leqslant \frac{13\pi}{2}`,

`5\pi-\frac{\pi}{4}\leqslant\pi k \leqslant \frac{13\pi}{2}-\frac{\pi}{4}`,

`\frac{19\pi}{4}\leqslant\pi k \leqslant \frac{25\pi}{4}`,

`\frac{19}{4}\leqslant k \leqslant \frac{25}{4}`.

Вспоминаем, что `k` принимает только целые значения. Полученному неравенству удовлетворяют `5 = \frac{20}{4}`  и  `6 = \frac{24}{4}`.

Для того, чтобы получить окончательный ответ, подставим вместо полученные числа `k` в нашу серию корней:

`k=5,\quad x=\frac{\pi}{4}+5\pi = \frac{21\pi}{4} ;`
`k=6,\quad x=\frac{\pi}{4}+6\pi = \frac{25\pi}{4} .`

Окончательный ответ: а) `\frac{\pi}{4}+\pi k ,\ k\in \mathbb{Z}`, б) `\frac{25\pi}{4}, \frac{21\pi}{4}`.

И как обычно, если вам понравилось эта статья, ставьте лайки (для меня это стимул публиковать больше разборов заданий из ЕГЭ), и оставляйте комментарии.