Решение С2 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Урал

Здравствуйте!

Пришло время рассмотреть задачи С2 из реального ЕГЭ 2013. В этом номере задание для Урала:

В правильной четырехугольной пирамиде `MABCD` с вершиной `M` стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2. Точка `N` принадлежит ребру `MC`, причем `MN : NC = 2: 1`. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки `B` и `N` параллельно прямой `AC`.

Сперва построим пирамиду, затем разберемся, как пройдет сечение.

Так будет выглядеть наша пирамида. Ниже описание, как построить сечение.

• Отметим точку `N` на ребре `MС`, как указано в условии.
• В плоскости `ANC` (в этой плоскости лежит `\triangle AMC`) проведем прямую паралелльную `AC`, она пересечет ребро `AM` в точке `P`, а высоту `MH` — в точке `E`.
• Проведем прямую `BE`. Она пересечет `BD` в точке `Q`.

Многоугольник `BNQP` — искомое сечение. Выглядит оно так:

Так как `PN` и `BQ` лежат в перпендикулярных плоскостях (убедиться самостоятельно), то они перпендикулярны друг другу. Половина их произведения будет равна площади искомого сечения — четырехугольника `BNQP`, диагоналями которого они являются. Давайте отдельно вынесем его чертеж:

А теперь приступим к поиску нужных длин диагоналей. Рассмотрим `\triangle AMC`.

С его помощью мы найдем длину первой диагонали — `PN`.

• Длину `AC` мы вычислим, зная, что это диагональ квадрата, лежащего в основании. Поскольку `MH` — высота в равнобедренном треугольнике, то `HC` равна половине основания, `HC = \frac{\sqrt{2}}{2}`.
• `PN \parallel AC` по построению. Значит, `\angle MNE = \angle MCH, \angle MEN = \angle MHC`. Отсюда `\triangle MNE  \sim \triangle MCH`.
• Длина отрезка `AN : AC = 2 : 3`. Отсюда мы получаем коэффициент подобия треугольников.
• `EN : HC = 2:3 \Rightarrow EN = \frac{\sqrt{2}}{3}`. Поскольку `\triangle MPN` равнобедренный, и `ME` — высота, то `PN = 2 \cdot EN = \frac{2\sqrt{2}}{3}`.

`PN` найден.

Найдем `BQ`. Рассмотрим `\triangle BDM`.

Найдем `\angle M` по теореме косинусов:

$$ \cos \angle M = \frac{BD^2 - MB^2 - MD^2}{- 2 \cdot MB \cdot MD} = \frac{2 - 4 - 4}{- 2 \cdot 2 \cdot 2 }  = \frac{6}{8 } = \frac{3}{4}.$$

Теперь из `\triangle MBQ` так же по теореме косинусов найдем `MQ`. Единственное, чего нам не хватает для этого — длины `MQ`.

Заметим, что отрезки `ME : MH = 2 :3`, откуда получаем, что `ME : EH = 2 : 1`. Поскольку `MH` — медиана в `\triangle BDM`, и точка `E` делит ее в отношении `2 : 1`, считая от вершины, то точка `E` — точка пересечения медиан этого треугольника. Значит, `BQ` тоже медиана, и `MQ = 1`.

По теореме косинусов получаем:

$$BQ^2 = MB^2 + MQ^2 -2\cdot MB \cdot MQ \cdot \cos \angle M = 4+1 - 2\cdot 2 \cdot \frac {3}{4} = 2,$$

$$BQ = \sqrt{2}.$$

Теперь мы можем найти площадь искомого сечения: `BQ \cdot PN \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}`.

Ответ

`\dfrac{2}{3}`.

Учите геометрию, готовьтесь к ЕГЭ, ставьте лайки!