(383) 375-08-85

  • Решение ЕГЭ
  • Решение С2 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Урал
29
Июль
2013

Решение С2 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Урал

Поиск площади сечения правильной четырехугольной пирамиды

Здравствуйте!

Пришло время рассмотреть задачи С2 из реального ЕГЭ 2013. В этом номере задание для Урала:

В правильной четырехугольной пирамиде `MABCD` с вершиной `M` стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2. Точка `N` принадлежит ребру `MC`, причем `MN : NC = 2: 1`. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки `B` и `N` параллельно прямой `AC`.

Сперва построим пирамиду, затем разберемся, как пройдет сечение.

Правильная четырехугольная пирамида

Так будет выглядеть наша пирамида. Ниже описание, как построить сечение.

  • Отметим точку `N` на ребре `MС`, как указано в условии.
  • В плоскости `ANC` (в этой плоскости лежит `\triangle AMC`) проведем прямую паралелльную `AC`, она пересечет ребро `AM` в точке `P`, а высоту `MH` — в точке `E`.
  • Проведем прямую `BE`. Она пересечет `BD` в точке `Q`.

Многоугольник `BNQP` — искомое сечение. Выглядит оно так:

Сечение правильной пирамиды по трем точкам

Так как `PN` и `BQ` лежат в перпендикулярных плоскостях (убедиться самостоятельно), то они перпендикулярны друг другу. Половина их произведения будет равна площади искомого сечения — четырехугольника `BNQP`, диагоналями которого они являются. Давайте отдельно вынесем его чертеж:

сечение пирамиды

А теперь приступим к поиску нужных длин диагоналей. Рассмотрим `\triangle AMC`.

real 2013 C2ural3

С его помощью мы найдем длину первой диагонали — `PN`.

  • Длину `AC` мы вычислим, зная, что это диагональ квадрата, лежащего в основании. Поскольку `MH` — высота в равнобедренном треугольнике, то `HC` равна половине основания, `HC = \frac{\sqrt{2}}{2}`.
  • `PN \parallel AC` по построению. Значит, `\angle MNE = \angle MCH, \angle MEN = \angle MHC`. Отсюда `\triangle MNE  \sim \triangle MCH`.
  • Длина отрезка `AN : AC = 2 : 3`. Отсюда мы получаем коэффициент подобия треугольников.
  • `EN : HC = 2:3 \Rightarrow EN = \frac{\sqrt{2}}{3}`. Поскольку `\triangle MPN` равнобедренный, и `ME` — высота, то `PN = 2 \cdot EN = \frac{2\sqrt{2}}{3}`.

`PN` найден.

Найдем `BQ`. Рассмотрим `\triangle BDM`.

Треугольник BDM

Найдем `\angle M` по теореме косинусов:

$$ \cos \angle M = \frac{BD^2 - MB^2 - MD^2}{- 2 \cdot MB \cdot MD} = \frac{2 - 4 - 4}{- 2 \cdot 2 \cdot 2 }  = \frac{6}{8 } = \frac{3}{4}.$$

Теперь из `\triangle MBQ` так же по теореме косинусов найдем `MQ`. Единственное, чего нам не хватает для этого — длины `MQ`.

Заметим, что отрезки `ME : MH = 2 :3`, откуда получаем, что `ME : EH = 2 : 1`. Поскольку `MH` — медиана в `\triangle BDM`, и точка `E` делит ее в отношении `2 : 1`, считая от вершины, то точка `E` — точка пересечения медиан этого треугольника. Значит, `BQ` тоже медиана, и `MQ = 1`.

По теореме косинусов получаем:

$$BQ^2 = MB^2 + MQ^2 -2\cdot MB \cdot MQ \cdot \cos \angle M = 4+1 - 2\cdot 2 \cdot \frac {3}{4} = 2,$$

$$BQ = \sqrt{2}.$$

Теперь мы можем найти площадь искомого сечения: `BQ \cdot PN \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}`.

Ответ

`\dfrac{2}{3}`.

Учите геометрию, готовьтесь к ЕГЭ, ставьте лайки!

 

Автор: Юрлов Илья Просмотров: 5089

  • Нравится
  • Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить