(383) 375-08-85

02
Август
2013

Как решать С1. Урок 4 (часть 1). ЕГЭ по математике 2014

Решение уравнений вида `\sin x = a, \cos x = a` в общем виде. Арксинус, арккосинус.

Здравствуйте!

Как решать уравнение `\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}` мы уже знаем. Но что если в правой части уравнения окажется другое число, до сих пор не встречавшееся нам, например, безобидное `0{,}8`?

В этом уроке мы научимся решать уравнения вида `\sin x = a` и  `\cos x = a` для любых значений `a`.

Так же по многочисленным просьбам учеников во второй части урока, я расскажу, что такое тангенс и как решать уравнения для него.

Итак, приступим.

Определение арксинуса

Для того, чтобы лучше понять вопрос, давайте схематически нарисуем, как работает синус:

так работает синус

Он берет известную нам точку на окружности и как бы переносит ее на ось `y`.

А что если нам известно значение синуса на оси `y`? Было бы неплохо научиться "переносить" его на круг.

Для этого существует специально обученная для этого функция — арксинус. Поскольку функция обязана быть однозначной — одному значению переменной должно соответствовать только одно значение функции, то договоримся, что арксинус будет "переносить" точки с оси `y` только на правую половину окружности, причем без всяких `\pi k` (чтобы добиться однозначности).

Так работает арксинус

Тогда, для `x\in \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]` будет работать такая схема (это определение арксинуса):

$$\sin x = a \Leftrightarrow x = \arcsin a, \quad a\in [-1,1], x\in \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$

Что такое арксинус, разобрались. Осталось два вопроса: как быть с левой половиной, и что делать, если мы хотим получить все точки на окружности, а не только на одном обороте вокруг нее.

С оборотами поступим просто: добавим `\pi k`: `x =\arcsin a + 2\pi k`.

А как быть с левой половиной? Мы ведь знаем, что точки, симметричные относительно `Oy` дадут нам один и тот же синус.

Давайте внимательнее изучим точки, синусы которых равны. Сделаем такой рисунок:

Точки, синусы которых равны. Дуги равны!

Длины дуг, отмеченных красным, равны. Получается, что для того, чтобы получить точку на левой половине круга, нам нужно из `\pi` вычесть дугу длиной `\arcsin a`.

Таким образом, общее решение простого тригонометрического уравнения с синусом будет записано так:

$$\left[ \begin{array}{l}x=\arcsin a +2\pi k, \\ x = 2 - \arcsin a +2\pi k, \end{array}\right. \quad k\in \mathbb{Z}.$$

Можно переходить к арккосинусу.

Определение арккосинуса

Вновь сперва рассмотрим, как работает косинус.

так работает косинус

Как видно, косинус "переносит" точки с круга на ось `x`. Арккосинус будет "переносить" точки с оси `x` на круг. Опять же, чтобы функция была однозначной, договоримся, что арккосинус переносит точки с оси `x` только на верхнюю половину круга.

так работает арккосинус

Определение арккосинуса можно записать так:

$$\cos x =a \Leftrightarrow x = \arccos a,\quad  a \in [-1,1], x\in [0, \pi ].$$

Что делать если нам нужно обобщить это на любое количество оборотов по окружности, я думаю, вы догадываетесь: прибавить `2\pi k`.

Ситуация с нижней половиной круга для арккосинуса проще, чем аналогичная для арксинуса: чтобы получить точку из нижней половины, нужно просто взять `-\arccos a`.

Решение тригонометрического уравнения с косинусом в общем виде выглядит так: `x= \pm \arccos a +2\pi k, k\in \mathbb{Z}`.

Тренировка

Решим уравнение `\sin^2 x -\frac{4}{5}\sin x = 0`.

Детальных пояснений, как решать это уравнение, приводить не буду (если объяснения все же нужны, можно посмотреть прикрепленное видео с решением почти такого же уравнения)

$$\sin x \left(\sin x -\frac{4}{5}\right) = 0,$$

$$\sin x = 0 \text{ или } \sin x -\frac{4}{5} = 0,$$

$$\sin x = 0 \text{ или } \sin x =\frac{4}{5}.$$

решение на круге

$$\left[\begin{array}{l} x= \pi k, \\ x = \arcsin \frac{4}{5}+2\pi k, \\ x= \pi -  \arcsin \frac{4}{5}+2\pi k. \end{array} \right. \quad k\in \mathbb{Z}.$$

 

Решение уравнений с тангенсом будет во второй части этого урока — в следующей статье. Там мы узнаем определение тангенса и арктангенса, и, значит, сможем решать уравнения.

 

Задания для самостоятельной тренировки

Решите уравнения:

  • `8 \sin x \cdot \cos x + 5 \cos x =0`,
  • `3\cos^3 x =\cos x `,
  • `2\sin^3 x +\sin x =0`,
  • `\cos ^2 x+2 \sin^2 x = 0`.

 

На этом урок закончим. Ваши лайки поднимают боевой дух и помогают писать новые статьи, так что ставим,не стесняемся :)  Есть вопросы? Оставляйте их в комментариях.

 

Просмотров: 5066

  • Нравится
  • Комментарии   

    # Айдар 08.10.2013 18:29
    8sinx⋅cosx+5cosx=0
    Помогите решить
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
    # Анастасия 07.01.2014 02:30
    У Вас ошибка в тренировочной части.
    Уравнение sin2x + 4/5*sinx=0.
    Однако, решаете Вы sin2x - 4/5*sinx=0.
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
    # Юрлов Илья 07.01.2014 12:17
    Спасибо, поправил.
    Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать

    Добавить комментарий


    Защитный код
    Обновить