Как решать С1. Урок 7. ЕГЭ по математике 2014

Как решать уравнения с синусом и косинусом двойного угла

Здравствуйте.

Уроки С1 из ЕГЭ по математике постепенно подходят концу. Одна из тем, о которой мы еще не поговорили, это синус и косинус двойного угла. Без них решение многих задач С1 будет крайне затруднительным.

Чтобы легко решать первое задание части С, придется эти формулы выучить.

Выглядят формулы двойного угла следующим образом:

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x;$$

$$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x.$$

Гарантированно запомнить их получится, только если вы прорешаете достаточное количество задач. Давайте решим несколько примеров вместе.

Первый пример. Синус двойного угла

$$\cos \left(\frac{\pi}{2} + 2x \right) = \sqrt{2} \sin x.$$

Распишем косинус в левой части уравнения по формуле приведения (они были в шестом уроке). Далее подробные пояснения моментов, которые были в прошлых уроках, уже не привожу.

$$-\sin 2x = \sqrt{2} \sin x.$$

А теперь распишем синус по формуле двойного угла.

$$-2\sin x \cos x -\sqrt{2} \sin x = 0,$$

$$-\sin x (2 \cos x +\sqrt{2} ) = 0,$$

$$\sin x = 0 \text{ или } \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$x = \pi k \text{ или } x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k.$$

Ответ получен. Подобное задание было на реальном ЕГЭ 2013 года. Его решение (вместе с отбором корней) можно посмотреть в этой статье.

Переходим к следующему примеру.

Второй пример. Косинус двойного угла

$$\cos 2x + \sin^2 x = \frac{1}{4}.$$

Распишем косинус по формуле двойного угла.

$$\cos^2 x - \sin^2 x + \sin^2 x = \frac{1}{4},$$

$$\cos^2 x= \frac{1}{4},$$

$$\cos x= \pm\frac{1}{2},$$

$$\left[\begin{array}{l} x = \pm \frac{\pi}{3}+ 2\pi k,\\ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k. \end{array} \right.$$

Несколько строк, и ответ получен (единственное, чего не хватает до полного оформления — тригонометрической окружности).

Эта задача была среди задач для подготовки к ЕГЭ 2012.

Третий пример. Синус двойного угла

$$36^{\sin 2x } = 6^{2\sin x}.$$

Запишем `36` как `6^2` и воспользуемся свойствами степеней.

$$6^{2\sin 2x } = 6^{2\sin x}.$$

Избавимся от одинаковых оснований степеней (эта операция называется логарифмированием).

$$2\sin 2x = 2\sin x.$$

Дальше все предельно ясно. Разделим на 2 левую и правую часть, распишем синус двойного угла, синус из правой части перенесем в левую.

$$2\sin x \cos x - \sin x = 0,$$

$$\sin x (2 \cos x - 1)= 0,$$

$$\sin x =0 \text{ или } \cos x = \frac{1}{2},$$

$$x= \pi k \text{ или } x= \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k.$$

Эта задача была среди задач для подготовки к ЕГЭ 2012.

На этом седьмой урок окончен. Он получился не очень длинным, потому что мы перешли к практике, к заданиям максимально приближенным к реальным задачам ЕГЭ.

Задачи для тренировки

Решите уравнения:

`\sin 2x = \sqrt{3} \cos \left(\frac{3\pi}{2} \right)` (задача из реального ЕГЭ 2013);
`\mathrm{tg}\ x + \cos\left(\frac{3\pi}{2} -2x\right) = 0`;
`\frac{1}{2}\sin 2x + \sin^2 x-\sin x = \cos x`.

Для самых старательных: найдите `\sin 15^\circ` и `\cos 15^\circ` (воспользоваться формулой двойного угла для `\sin 30^\circ` и основным тригонометрическим тождеством).

Теперь совсем все. Вопросы оставляйте в комментариях. Лайки оставляйте в удобных для вас соцсетях. Смотрите видео, читайте новые статьи, сдавайте ЕГЭ на 100 баллов.